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13 - APPROSSIMAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE COL METODO DI BISEZIONE
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Per descrivere questo bellissimo metodo, partiamo da un esempio. Sia data l’equazione
Innanzitutto, localizziamo approssimativamente le radici (NOTA) col “metodo grafico”.
NOTA: quando si parla di un’equazione, la parola “radici” è sinonimo di “soluzioni”
L’obiettivo è di “separare” le radici, ossia di determinare, per ciascuna radice, un intervallo che contenga quella radice e nessun’altra. Per fare il grafico, sarà conveniente, nel nostro caso, trasportare qualche termine a secondo membro, in modo da aver a che fare con funzioni il più possibile facili da disegnare:
Vediamo così (figura qui a fianco) che l’equazione assegnata ha 3 radici:
Consideriamo
ora una radice, ad esempio
Per la risoluzione grafica, abbiamo portato l’equazione sotto la forma
ma ora dobbiamo tornare a pensare alla forma iniziale
Della funzione tuttavia,
il fatto che le due funzioni si
sono “scavalcate” nell’intervallo ci
dice che la loro differenza passa,
al variare di x da dalla positività alla negatività o viceversa. |
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In
effetti, se calcoliamo
La situazione è perciò
quella della figura qui a fianco
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E risolvere l’equazione l’attraversamento dell’asse orizzontale, da parte
del grafico della
Cominciamo a chiederci se questo attraversamento dell’asse orizzontale avviene nella metà sinistra dell’intervallo, oppure nella metà destra.
A questo scopo, troviamo il punto di mezzo dell’intervallo:
e
calcoliamo Avremo |
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Ora,
essendo la situazione sarà quella illustrata dalla figura qui a destra: poiché il grafico della NON nell’intervallo Insomma, semplicemente
confrontando il segno di abbiamo stabilito che la soluzione cercata deve trovarsi nell’intervallo
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Schematizzando: dal
“vecchio” intervallo
Ora iteriamo ( = ripetiamo) il procedimento su questo nuovo intervallo … … il nuovo intervallo prende il posto del vecchio!
Otterremo così, per dimezzamenti successivi ( = bisezioni) dell’intervallo iniziale, nuovi intervalli sempre più piccoli i cui estremi forniranno un’approssimazione per difetto e una per eccesso, della soluzione cercata, via via sempre più precise. Eccezionalmente
(rarissimo), se dovesse capitare di trovare ci imbatteremmo proprio nella soluzione esatta. |
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Esercizio 41)
Scriviamo un programma Pascal per risolvere, col metodo di bisezione, l’equazione P(x)=0, essendo P(x) un polinomio di grado non superiore a 5:
Innanzitutto stabiliremo, col metodo grafico, quante sono le soluzioni dell’equazione
e le localizzeremo approssimativamente.
Dopodiché, individuato un intervallo [a, b] in cui siamo sicuri che cada una e una sola soluzione della nostra equazione, affideremo ad un programma Pascal il compito di approssimare tale soluzione con la precisione da noi desiderata (ad esempio, a meno di 0.0001), applicando, appunto, il metodo di bisezione ( = dimezzamenti successivi dell’intervallo in cui è localizzata la soluzione).
Il programma dovrà:
I) LEGGERE in input ·
i 6
coefficienti c0, c1, c2, c3, c4, c5 del polinomio
· gli estremi a, b dell’intervallo in cui l’utente ha “separato” una e una sola radice ( = soluzione)
dell’equazione
· e la precisione p con la quale l’utente desidera sia approssimata la soluzione in questione
II) CALCOLARE ♪ con l’intervallo [a, m] se P(m) è discorde rispetto a P(a): P(m)*P(a)<0 ♫ con l’intervallo [m, b] in caso contrario;
III) ITERARE
il procedimento (calcolo di FINO A QUANDO · ci si imbatta nella soluzione esatta (caso rarissimo) · OPPURE l’intervallo sia diventato tale che la sua ampiezza sia minore o uguale a p.
IV) Nel primo (eccezionale) caso, l’output dovrà essere
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Beh, ho detto “scriviamo” … ma il programmatore sei tu. Buon lavoro!!! |
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