2.3 - Nemmeno la definizione "perfezionata" è, a ben guardare, impeccabile     Siamo tuttavia costretti ad ammettere che il nostro sforzo di giungere ad una definizione completa e rigorosa di "probabilità" NON si è concluso in modo veramente soddisfacente.   La "definizione" cui siamo alla fine pervenuti … è, ahimè, grossolanamente deficitaria, perché mancante di una regola, di un criterio, che permetta di stabilire QUANDO si possa parlare di casi "ugualmente facili (o probabili)" e quando invece no.   E poiché non si riesce ad enunciare una regola siffatta in termini che evitino "circoli viziosi" e che siano  a) sufficientemente generali, da una parte;  b) e sufficientemente dettagliati, dall’altra, la decisione se due casi siano da considerare o meno equipossibili è, alla fin dei conti, lasciata alla nostra valutazione soggettiva.   Laplace stesso ammette, a questo proposito, che     "la juste appréciation des divers cas est un des points les plus délicats de l'analyse des hazards"     cioè che

"la corretta valutazione dei diversi casi - in sostanza, la valutazione se siano o meno "equipossibili" - è uno dei punti più delicati dell'analisi degli eventi casuali".

Tuttavia, si constata che,

pur essendo la valutazione di equipossibilità lasciata alla discrezionalità individuale, considerazioni di simmetria condotte e discusse con attenzione portano a valutazioni unanimemente condivise.

Una buona guida a proposito è (nonostante si tratti di un’indicazione piuttosto vaga) il “PRINCIPIO DI RAGIONE INSUFFICIENTE” o “PRINCIPIO DI INDIFFERENZA”: “due esiti sono equipossibili se non c’è nessuna ragione perché si debba ritenere il contrario”

 

 

2.4 - Il problema dell’equipossibilità

 

Due esempi per sottolineare l’importanza di analizzare con cura se i casi considerati siano equipossibili.

 

Ragiona con la tua testa, coprendo inizialmente la parte inferiore della pagina, su cui si trovano le risposte.

 

 

A.     Un tale mi dice:

 

      “Lanciando due monete, la probabilità che esca "testa" su entrambe è 1/3.

        Infatti, i casi possibili sono:  1) due "teste"  2) due "croci"  3) una "testa" e una "croce".

  Di questi tre casi possibili, uno solo è favorevole, quindi, appunto,  p(2 Teste) = 1/3”

 

       E’ corretta questa affermazione?

 

 

B.     Ho qui 3 cartoncini rettangolari;

 

●        uno ha entrambe le facce rosse,

●        un altro ha entrambe le facce bianche,

●        il terzo ha una faccia bianca e la faccia opposta rossa.

 

Metto i cartoncini in un cassetto, ti chiamo …

… e tu, senza guardare, estrai un cartoncino dal cassetto e lo posi sul tavolo.

 

      Supponiamo a questo punto che la faccia in evidenza sia rossa.

      Qual è la probabilità che la faccia coperta sia bianca?

 

RISPOSTE

 

A.    Un’analisi attenta mostra che i tre casi prospettati non sono equipossibili.

L’insieme dei casi equipossibili è   (T, T)  (T, C)  (C, T)  (C, C)

(per facilitare il ragionamento giova pensare a un qualcosa che psicologicamente

 ci porti a non dimenticare l’individualità di ciascuna moneta:

 ad esempio, possiamo pensare che una moneta sia da 2 euro e l’altra da 1 euro).

 

Quindi l’affermazione non è corretta, e la risposta esatta è invece  p(2 Teste) = 1/4

 

B.    Verrebbe forse spontaneo rispondere 1/2, ma la risposta giusta è invece 1/3. Infatti …

primo cartoncino:          R1,  R2  (una faccia rossa, l’altra ancora rossa).

secondo cartoncino:      B1,  B2

terzo cartoncino:           B3,  R3

            La faccia rossa che io vedo potrebbe essere, con ugual facilità, R1, o R2, o R3.

            E di questi 3 casi EQUIPOSSIBILI uno solo (R3) è favorevole all’evento: “la faccia nascosta è bianca”.