3 - DIVERSI APPROCCI ALLA PROBABILITA’

In Matematica ci sono 4 modi alternativi di porre la definizione di probabilità:

a)       definizione CLASSICA

b)       definizione FREQUENTISTA

c)       definizione ASSIOMATICA

d)       definizione SOGGETTIVISTA

a)    Def. CLASSICA:

sotto l’ipotesi che i casi possibili siano valutati tutti “equipossibili”, o “equiprobabili”.

Quest’ultima valutazione è individuale e legata sostanzialmente a considerazioni di “simmetria”

non inquadrabili, purtroppo, in un criterio che si riesca a definire in termini rigorosi e generali.

Tuttavia, dopo un’attenta analisi e discussione, la “equipossibilità” o la “non equipossibilità”

dei casi in esame dovrebbe sempre emergere in modo chiaro, ed essere unanimemente condivisa,

sulla base del cosiddetto “Principio di Ragione Insufficiente”, o “Principio di Indifferenza”:

“due casi sono equipossibili se non c’è nessuna ragione perché si debba ritenere il contrario”.

b)    Def. FREQUENTISTA (o “statistica”):

,

calcolata, s’intende, dopo aver effettuato un numero “sufficientemente elevato” di prove.

Questo tipo di valutazione di probabilità è in genere destinato, per sua natura, a contenere un

(se pur piccolo) errore di approssimazione. Il numero n di prove è da giudicarsi “sufficientemente elevato”

se la frequenza relativa, allorquando ci si avvicina a n prove, tende a rimanere pressoché stabile,

in quanto si osserva che le sue variazioni si fanno molto ma molto piccole.

c)    Def. ASSIOMATICA (Kolmogorov, 1933):

non si preoccupa di stabilire “cos’è” la probabilità,

ma solo di definirla implicitamente tramite una famiglia di assiomi.

d)    Def. SOGGETTIVISTA (De Finetti e altri, 1931):

INTERPRETAZIONE 1)

La probabilità “soggettiva” di un evento è a/b se un soggetto “coerente” G è disposto a pagare subito

la somma a per ricevere in futuro la somma b (con un guadagno netto, quindi, uguale a  )

nel caso l’evento si verifichi.

“Coerente” significa che lo stesso soggetto G deve essere disposto in qualsiasi momento

a scambiarsi di ruolo con l’altro giocatore  … 

Ma cosa fa l’altro giocatore? Riceve tanto per cominciare la somma a, ed è disposto a pagare b

se l’evento si verifica: quindi anche G, per essere coerente, deve essere disposto a incassare subito la somma a

per pagare in un futuro la somma b (con una perdita uguale in valore assoluto a  ) se l’evento si verifica.

INTERPRETAZIONE 2)

Anche, in modo del tutto equivalente: la probabilità di un evento E è uguale a  s/S  

se per me è del tutto indifferente l’offerta, da parte di un benefattore,

♪       di una somma s certa, che mi viene pagata in ogni caso

♫       oppure in alternativa di una somma S, che però mi verrà data solo se l’evento E si verificherà.

q     Il taglio di queste lezioni è classico-frequentistico al medesimo tempo.

Infatti abbiamo posto la definizione di tipo “classico”, e accettato l’asserto “sperimentale”

chiamato “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”, di cui ci serviremo per passare, quando opportuno,

da una “visione classica” a una “visione frequentista”:

“Quando si ripete per ‘molte’ volte una prova, la frequenza relativa di un esito, cioè il rapporto

 (n° di prove che hanno avuto quell’esito)/(n° totale di prove)

  si avvicina ‘molto’ alla probabilità a priori di quell'esito, calcolata tramite il rapporto

 (n° casi favorevoli)/(n° casi possibili)”

q     Nella risoluzione dei problemi sulla probabilità, è assai proficuo, a parere di chi scrive, utilizzare

per certi problemi una visione classica, per altri una visione frequentista, per altri entrambe.

q     L’approccio matematico “puro” alla teoria della probabilità sarebbe quello assiomatico,

che con ogni evidenza è didatticamente improponibile ai fini di una prima presentazione dell’argomento.