Probabilità

4.5 - ESERCIZI (risposte alla fine della rassegna)

1) Lanciando un dado, che probabilità c’è che esca

a) un multiplo di 3?

b) un numero diverso da 6?

c) un numero primo?

2) In una classe vi sono 18 ragazzi e 9 ragazze. Se viene estratto coi bigliettini un cognome a caso

per la prima interrogazione di Storia, che probabilità c’è che si tratti di un maschio?

3) Un amico ha acquistato 100 biglietti di una lotteria nazionale.

Ha poi saputo che i biglietti stampati sono 20 milioni, e sono stati venduti tutti.

Che probabilità ha di vincere il 1° premio?

4) Si gioca alla tombola (numeri interi da 1 a 90).

Che probabilità c’è che il primo estratto sia

a) un multiplo di 13?

b) un quadrato perfetto?

c) uno dei numeri che sono divisibili per 10 o per 12?

d) un numero minore di 91?

e) un numero divisibile per 91?

5) Se il nome di una ragazza inizia con una vocale, che probabilità c’è che questa sia “A”?

6) Se si “pesca” a caso un intero da 1 a 20, stabilisci che probabilità c’è che sia divisibile:

a) sia per 2 che per 3

b) per 2 e/o per 3.

7) Da un mazzo da scopa (40 carte) se ne pesca 1. Se mi dicono che NON è il “settebello” (7 di denari),

che probabilità c’è che la carta sia comunque di denari? [“Denari” = “Ori” = “Quadri”]

8) Si estrae a sorte un numero di 2 cifre, poi si lancia una moneta

e se esce “Testa” se ne prende la prima cifra, altrimenti la seconda.

Che probabilità c’è di ottenere in questo modo

a) un “9”?

b) uno “0”?

9) Lancio un dado a 8 facce, numerate da 1 a 8, della forma illustrata in figura.

Che probabilità c’è che si presenti sulla faccia in alto un multiplo di 3?

10) Riempi i puntini:

Se un evento è certo, detta la sua probabilità, è …

Se un evento è impossibile, detta p la sua probabilità, è …

La probabilità di un evento è sempre compresa fra un minimo di … e un massimo di …

e il primo di questi valori si ha soltanto nel caso in cui l’evento sia …

mentre il secondo valore si ha soltanto nel caso in cui l’evento sia …

11) La probabilità dell’evento “lanciando un dado, esce un numero minore di 7” è … perché l’evento è …;

sempre lanciando un dado, la probabilità dell’evento “esce un numero maggiore di 7” è …

perché questo evento è …

12) In un cassetto ci sono 4 fazzoletti bianchi e 3 scozzesi.

a) Qual è la probabilità che estraendone uno a caso, esso sia bianco?

b) Qual è la probabilità che, estraendo 4 fazzoletti a caso, almeno 1 di essi sia bianco?

13) In un’urna ci sono 2 palline Bianche, 2 Rosse e 2 Nere.

a) Qual è la probabilità che, estraendo 1 pallina, essa sia Nera?

b) Se si estrae una pallina e questa risulta Nera, estraendone poi una seconda,

senza aver rimesso la prima nell’urna, che probabilità c’è che sia Nera anch’essa?

14) Sul bancone di un bar, sono rimaste 10 brioches esternamente identiche,

ma 2 di esse hanno il cioccolato dentro, l’unico ripieno che non mi piace.

Presa una brioche a caso, che probabilità c’è che sia di mio gradimento?

15) Qual è la probabilità che il 1° estratto nella prossima estrazione alla ruota di Napoli sia un numero primo?

16) Una piccola pesca di beneficenza ha 240 biglietti, numerati da 1 a 240. Io sono in possesso del numero 120.

Viene estratto il numero cui spetta il 1° premio.

Io domando se quel numero è di 3 cifre, e mi rispondono “sì”.

Domando se queste cifre sono tutte minori di 3, e mi rispondono “sì”.

Chiedo infine se le cifre sono tutte minori di 2 e mi rispondono “no”.

Con queste informazioni, che probabilità ho di aver vinto il 1° premio?

17) Il 70% degli iscritti ad un club sono maschi;

delle femmine, quest’anno il 20% ha lasciato al club una donazione,

mentre solo il 10% dei maschi lo ha fatto.

a) Preso un iscritto a caso, determinare la probabilità che abbia lasciato una donazione al club.

b) Preso a caso un membro che abbia lasciato una donazione, determinare la probabilità che sia maschio.

18) Il 30% delle famiglie di un paese ha un cane, e di queste il 40% ha anche un gatto.

Fra tutte le famiglie che possiedono un gatto, il 24% possiede anche un cane.

Estratta a sorte una famiglia in quel paese, determinare la probabilità che possegga

almeno un animale domestico fra cane e gatto.

19) In una fabbrica ci sono due macchine:

A, che produce pezzi di cui il 5% è difettoso, e B, i cui pezzi sono addirittura difettosi al 10%.

Se ho qui davanti a me un certo numero di pezzi, e so che

i 2/5 di essi provengono dalla macchina A mentre i rimanenti dalla macchina B,

potrò determinare la probabilità che uno di essi, scelto a caso, sia buono?

20) E’ corretto dire che, se si lancia un dado, i casi possibili sono 2: “numero pari” o “numero dispari”,

quindi, ad esempio, ?

21) a) Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, l’esito del lancio sia un “doppio 1”

b) Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, su uno di questi esca “1” e sull’altro “6”

c) Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, su uno di essi esca un numero pari e sull’altro un dispari

d) Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la faccia “1” si presenti una e una sola volta

e) Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la faccia “1” si presenti almeno una volta

22) a) Calcola la probabilità che lanciando simultaneamente 2 monete escano risultati uguali.

b) E se le monete fossero 3? c) E se fossero 4?

23) Se si lanciano 3 monete, che probabilità c’è che esca una volta “Testa” e le rimanenti “Croce”?

24) Quattro fratelli, Anna, Bruno, Carlo e Dario, hanno preso questa mattina i voti seguenti: 4, 5, 7, 9.

Determina la probabilità che la mamma, convocando due di essi a caso,

trovi la media dei loro due voti insufficiente (<6).

25) Ci sono 4 carte, una con entrambe le facce Blu, una con entrambe le facce Rosse,

le due rimanenti ciascuna con una faccia Blu e l’altra Rossa.

Un mio amico le mette in un cassetto.

Io estraggo con gli occhi bendati una carta, poi mi viene tolta la benda e io vedo il colore di una faccia.

Che probabilità c’è che anche l’altra abbia lo stesso colore?

26) I 10 articoli di una vetrina hanno tutti prezzi diversi.

Che probabilità ho, scegliendone 1 a caso, che sia il più a buon mercato?

Che probabilità ho, scegliendone 2 a caso, che uno sia più caro dell’altro?

27) Ho giocato il 49 sulla ruota del Lotto di Napoli.

Che probabilità c’è che esca come primo numero estratto?

… Mi dicono ora che il primo estratto sulla ruota di Napoli è stato un multiplo di 7, ma non è stato il 7.

Che probabilità c’è che si tratti proprio del 49?

28) Mettiti d’accordo con un gruppetto di amici. Suddividetevi in coppie (almeno 5 coppie).

In ciascuna coppia, uno dei due mischia le carte di un mazzo da scopa, e l’altro estrae a caso una carta;

questo, lo si fa per 200 volte complessivamente, sempre reinserendo la carta nel mazzo dopo l’estrazione.

Si tratta di annotare quante volte complessivamente esce “cuori”

per verificare, alla fine, se la “legge empirica del caso” appare rispettata.

29) Come per l’esercizio/attività precedente, soltanto che invece di estrarre una carta

si lanciano due dadi e si fa la somma dei punteggi ottenuti

(per le probabilità a priori dei vari esiti vedi l’Esempio 5 di pag. 239 )

30) Se si lancia una puntina da disegno, essa potrà fermarsi sul tavolo (o sul pavimento)

con la punta in su o con la punta in giù. Qual è la probabilità di ciascuno dei due eventi?

31) Il numero 58, sulla ruota del Lotto di Napoli, non è mai uscito nelle precedenti 150 estrazioni.

Invece il 59 è uscito nell’estrazione più recente.

Conviene di più giocare il 58 oppure il 59 nell’estrazione di questa sera?

32) Nel gioco del Superenalotto, c’è qualche sestina che è più conveniente giocare?

33) Una classe di 20 studenti ha i banchi doppi: ogni banco, insomma, è condiviso da due studenti.

I posti a sedere vengono sorteggiati.

Giuseppe e Luca si detestano. Che probabilità c’è che l’estrazione li condanni a esser compagni di banco?

34) Se so che un’amica è nata a Giugno, e anch’io sono nato a Giugno,

che probabilità c’è che il nostro compleanno cada nello stesso giorno?

35) Sul ripiano della reception dell’hotel ci sono tre chiavi, fra cui quelle delle stanze di Aldo e di Bruno.

Se Aldo e Bruno scegliessero a caso, senza guardare, che probabilità ci sarebbe che

a) becchino entrambi la chiave giusta?

b) almeno uno dei due becchi la chiave giusta?

c) nessuno dei due becchi la chiave giusta?

36) La probabilità di essersi ammalati di scarlattina prima di iniziare le scuole elementari è valutata,

in Italia, intorno al 35%. All’inizio dell’anno scolastico, in una Prima elementare con 240 alunni,

quanti saranno coloro che hanno già fatto la scarlattina?

37) Lanciando 1000 volte una coppia di dadi, quante volte ci aspettiamo di ottenere lo stesso numero

su entrambi?

38) Si lanciano in aria due monete, una da 1 euro e l’altra da 2 euro.

Che probabilità c’è che esca “Testa” su entrambe?

39) Si lancia una moneta per 4 volte consecutive. Che probabilità c’è che

a) tutti gli esiti dei lanci siano fra loro uguali?

b) non sia abbiano mai 2 esiti successivi uguali?

c) si abbiano almeno 2 esiti diversi fra loro?

40) In un’urna, ci sono 3 palline Bianche e 2 Nere.

Viene estratta una pallina, che viene messa da parte.

Dall’urna con una pallina in meno viene estratta una seconda pallina.

Valutare la probabilità che le due palline estratte siano

a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso

41) In un’urna, ci sono 3 palline Bianche e 2 Nere.

Viene estratta una pallina, che viene poi rimessa nell’urna.

Viene poi fatta un’altra estrazione.

Valutare la probabilità che le due palline estratte siano

a) entrambe bianche b) entrambe nere c) di colore diverso

42) Un’urna contiene 5 palline numerate 1, 2, 3, 4, 5.

Se ne pesca una e la si mette da parte, poi si sommano i numeri letti sulle altre.

Che probabilità c’è, così facendo, di ottenere un numero

a) pari? b) dispari? c) maggiore di 5? d) maggiore di 14?

43) Un’urna contiene un certo numero di palline bianche e il numero doppio di palline nere.

Se si aggiungessero altre 3 palline bianche, la probabilità di estrarre una “bianca” raddoppierebbe.

Quanto vale ?

44) Un’urna contiene 120 palline; se ne estrae una, se ne osserva il colore,

poi la si reimmette nell’urna e se ne estrae un’altra.

Ripetendo la prova per 400 volte, per 52 volte la pallina risulta blu. Quante palline blu contiene l’urna?

45) Una moneta è regolare, un’altra è scandalosamente truccata perché porta due “Teste”.

Vengono poste in un sacchetto, poi ne si pesca una a caso, la si lancia ed … esce “Testa”.

Che probabilità c’è che la moneta pescata sia quella truccata?

RISPOSTE

1) a) 1/3 b) 5/6 c) 1/2 2)

3) 4) a) 1/15 b) 1/10 c) 1/6 d) 1 e) 0

5) I 5 casi sono tutt’altro che equipossibili. Non si può rispondere, se non eventualmente

dopo aver effettuato una indagine statistica accurata sulla popolazione femminile locale.

6) a) b) 7)

8) I numeri di 2 cifre sono 90: si hanno 90 “prime cifre” e 90 “seconde cifre”, per un totale di 180 cifre.

Ora, le modalità della prova aleatoria assicurano che ognuna di queste 180 cifre può essere ottenuta

con la stessa facilità (è proprio così … pensaci bene!).

Ma delle 180 cifre in questione, 19 sono “9” e 9 sono “0”. Perciò

9) Non si può rispondere se non attraverso una visione “statistica”, lanciando per moltissime volte quel dado

per determinare il rapporto fra il numero di lanci nei quali è uscito un multiplo di 3, e il n° totale di lanci.

Infatti il dado non presenta una simmetria tale che si possano ritenere equipossibili tutti e 8 gli esiti.

10) 1; 0; fra 0 e 1; impossibile; certo 11) 1; certo; 0; impossibile

12) a) 4/7 b) E’ uguale a 1, perché l’evento è certo 13) a) 2/6=1/3 b) 1/5 14) 8/10 = 4/5

15) 24/90=4/15 16) 1/14 17) a) b) 18) 68%

19) Sì, approssimativamente. Detto n il numero totale di pezzi che ho davanti a me, il numero di pezzi

prodotti da A sarà e il numero di quelli prodotti da B sarà . I pezzi difettosi saranno in totale

(all’incirca) e quelli buoni saranno quindi .

La probabilità, pescando a caso un pezzo, di trovarlo buono, si aggirerà intorno a

20) E’ corretto, perché una semplicissima analisi porta a stabilire che i due casi (ciascuno dei quali, volendo,

è composto di 3 sottocasi …) sono equipossibili. Non altrettanto si potrebbe invece dire, ad esempio,

per il lancio di una puntina da disegno: anche qui avremmo due casi, ma non equipossibili.

21) a) 1/36 b) 1/18 c) 1/2 d) 5/18 e) 11/36 22) a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8

23) Casi equiposs.: 8 (TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC). Casi fav.: TCC, CTC, CCT. Risp.: 3/8

24) 1/3 25) 1/2 26) 1/10; 1 27) 1/90; 1/11

30) I due casi “punta in su” e “punta in giù” non sono, evidentemente, equipossibili. Le probabilità richieste

potranno essere valutate solamente a posteriori, dopo aver effettuato un numero elevato di lanci: si porrà

31) E’ del tutto indifferente. L’urna “non ha memoria”, la “facilità” di uscita di un dato numero in un’estrazione

non è in alcun modo condizionata dagli esiti delle estrazioni precedenti.

La probabilità di uscita del 58 o del 59 sarà identica, nell’estrazione di questa sera.

Certo, PRIMA della lunghissima sequenza di non-uscite del 58, si sarebbe potuto affermare:

“è estremamente poco probabile che il 58 non esca mai nelle prossime 150 o 151 estrazioni”.

Ma DOPO che l’evento “raro” della non-uscita per 150 volte di fila si è verificato, “si ricomincia da capo”:

la probabilità di uscita del 58 alla prossima estrazione è uguale a quella che il 58 ha avuto, o avrà,

di essere estratto, in una qualsivoglia determinata estrazione nel passato o nel futuro.

32) Ogni sestina fissata ha la stessa probabilità, bassissima, di uscire.

Però, in caso di vincita, il montepremi viene suddiviso in parti uguali fra tutti coloro che hanno indovinato.

Quindi, forse, le sestine più “regolari”, come ad esempio la 1 2 3 4 5 6 o la 10 20 30 40 50 60 oppure la

11 22 33 44 55 66, POTREBBERO essere più convenienti, in quanto si può ipotizzare che tendano a essere

giocate più raramente. Infatti la mente umana in genere è portata erroneamente a ritenerle meno probabili

di quelle più “disordinate”, soltanto per il fatto (irrilevante per il comportamento dell’urna) che la loro

“individualità” salta agli occhi in modo più marcato, mentre ciò non accade, ad esempio, per una sestina

come 22 35 47 59 81 86 .

D’altra parte, occorrerebbe anche valutare l’eventualità che il medesimo ragionamento

venga effettuato da più persone … nella misura in cui ciò dovesse avvenire, giocare tali sestine “regolari”

finirebbe per perdere la convenienza di cui si parlava, e anzi risultare controproducente.

Consiglio: non giocare al Superenalotto, o al limite giocare solo 1 euro (possibilmente con un “socio” ).

33) Dal punto di vista probabilistico, evidentemente nulla cambia se si suppone che Giuseppe e Luca

siano rispettivamente il primo e il secondo a cui viene attribuito, per estrazione, il posto.

Ad ogni posto si assegna dunque un numero (da 1 a 20), e si preparano i bigliettini.

Si siede per primo Giuseppe, al posto per lui sorteggiato.

Rimangono 19 sedie libere, fra le quali 1 sola è quella accanto a Giuseppe.

La probabilità che Luca si sieda accanto a Giuseppe è dunque uguale a 1/19

(ossia alla probabilità che, sui 19 biglietti rimanenti dopo la prima estrazione,

venga estratto proprio quello che corrisponde alla sedia accanto a quella dove sta Giuseppe).

34) 1/30

35) a) Indichiamo le 3 chiavi con A, B, C, dove A è la chiave di Aldo e B quella di Bruno.

Sceglie Aldo, sceglie Bruno, la chiave non scelta resta dov’era.

I casi possibili (equipossibili) sono: ABC (unico caso favorevole); ACB; BAC; BCA; CAB; CBA

e la probabilità richiesta è 1/6.

b) 1/2 c) 1/2

36) Intorno al 35% di 240, che è poi 84; chiaramente, la stima è approssimativa!

37) La probabilità dell’evento “esce lo stesso numero su entrambi i dadi” è 1/6.

I casi possibili sono infatti 36 (1 sul dado “blu” e 1 sul “rosso”, 1 e 2, … , 1 e 6, 2 e 1, 2 e 2, …)

e quelli favorevoli 6, ma ;

oppure: il primo dado che atterra, potrà mostrare un punto qualsiasi,

dopodiché c’è una possibilità su 6 che anche il secondo dado mostri proprio quel punto.

Se una coppia di dadi viene lanciata 1000 volte (1000 è già un numero piuttosto elevato,

quindi dovrebbero essere evidenti le implicazioni della “legge empirica del caso”),

la frequenza di uscita di una coppia di esiti uguali si aggirerà intorno a per cui

ci aspettiamo di osservare questo evento un numero di volte che non si discosti troppo da tale valore.

38) I casi possibili sono 4: TT, CC, TC, CT, e sono tutti equipossibili. Il caso favorevole è 1 solo.

39) a) I casi possibili sono 16 (tutti fra loro equipossibili):

TTTT, TTTC, TTCT, TTCC, TCTT, TCTC, TCCT, TCCC, CTTT, CTTC, CTCT, CTCC, CCTT, CCTC, CCCT, CCCC.

I casi favorevoli sono 2: TTTT e CCCC. La probabilità richiesta è 2/16 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.

b) I casi favorevoli sono 2: TCTC e CTCT. La probabilità richiesta è 2/16 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.

c) I casi favorevoli sono 14 (16 meno i 2 di cui al punto a)). La probabilità richiesta è 14/16 = 7/8.

40) I casi possibili (equipossibili!) sono in numero di :

B1+B2 B1+B3 B1+N1 B1+N2 B2+B1 B2+B3 B2+N1 B2+N2

B3+B1 B3+B2 B3+N1 B3+N2 N1+B1 N1+B2 N1+B3 N1+N2

N2+B1 N2+B2 N2+B3 N2+N1

a) i casi favorevoli sono . La probabilità è

b) i casi favorevoli sono . La probabilità è

c) i casi favorevoli sono . La probabilità è

41) I casi possibili (equipossibili!) sono in numero di :

B1+B1 B1+B2 B1+B3 B1+N1 B1+N2 B2+B1 B2+B2 B2+B3 B2+N1 B2+N2

B3+B1 B3+B2 B3+B3 B3+N1 B3+N2 N1+B1 N1+B2 N1+B3 N1+N1 N1+N2

N2+B1 N2+B2 N2+B3 N2+N1 N2+N2

a) i casi favorevoli sono . La probabilità è

b) i casi favorevoli sono . La probabilità è

c) i casi favorevoli sono . La probabilità è .

42) Casi equipossibili:

43)

44) e . Il numero delle palline nell’urna sarà di 15 o 16 pressappoco.

45) 2/3.

Se non ne sei del tutto convinto, pensa:

su 1000 lanci, pressappoco 250 volte uscirebbe l’unica croce C, circa 250 la testa T1 sul retro della croce,

circa 250 volte la testa T2 della moneta con due teste, e circa 250 volte l’altra faccia T3 della stessa moneta.

Per 750 volte all’incirca, comparirebbe una testa, e per circa 500 di queste 750 volte essa proverrebbe

dalla moneta contraffatta.