8.2 - Dimostrazione del Teorema sugli “eventi a due fasi”

 

Il procedimento dimostrativo consiste nella generalizzazione

di quanto fatto nell’esempio introduttivo: passaggio ad una

prova modificata, probabilisticamente equivalente a quella di partenza,

con lo scopo di ricondursi ad un insieme di casi tutti equipossibili.

 

Il grafo sottostante mostra la struttura di una generica prova aleatoria a due fasi;

 rappresentano generici eventi.

 

 

 

Di ciascun evento è specificata la probabilità (eventualmente, "probabilità condizionata").

Per semplicità, ho supposto che si abbiano 2 esiti possibili per la prima fase (o "prima prova parziale")

e 2+3 esiti possibili per la seconda fase (="seconda prova parziale").

E' chiaro però che la dimostrazione sarebbe facilmente generalizzabile a situazioni diverse,

comunque complicate.

Il fatto che le probabilità  e  siano espresse da due frazioni con lo stesso denominatore n

non è restrittivo, voglio dire: non riflette un caso particolare,

perché comunque, se i due denominatori di  e  fossero diversi,

io potrei sempre ridurre tali due frazioni al minimo comun denominatore.

Analogo discorso vale per le cinque probabilità :

le suppongo espresse da cinque frazioni con lo stesso denominatore m

(se così non fosse, potrei sempre ricondurmi a questa situazione portando le cinque frazioni al m.c.d.).

Osserviamo che, per ovvi motivi, i numeri interi   sono tali da realizzare le uguaglianze

.

Si tratta dunque di dimostrare (TESI) che ,

tanto per prendere un’uguaglianza qualsiasi fra le 5 dello stesso tipo.

 

 

Poiché gli esiti possibili della prima fase sono:

A con probabilità  e  con probabilità ,

possiamo concepire la prima fase come estrazione di una pallina da un'urna contenente n palline,

su a delle quali ci sia la scritta "A" e sulle rimanenti  la scritta "  ".

                                                              

E analogamente per la seconda fase.

 

 

Quindi la nostra "prova a due fasi" potrà, in definitiva, essere considerata equivalente,

dal punto di vista delle valutazioni di probabilità, alla prova descritta come segue:

 

 

·       si estrae una pallina da un'urna contenente  palline,

      su a delle quali compare la scritta "A" mentre sulle rimanenti  palline compare la scritta "  "

 

 

·       se l'esito di questa estrazione è "A", allora si pesca da un'urna con la seguente composizione:

o        m palline in totale;

o        b  palline con la scritta "B",

o        c  palline con la scritta "C"

 

 

·       se invece l’esito della prima estrazione è "  ", allora si va a pescare da un'urna diversa, contenente:

o        m palline in totale;

o        d  palline con la scritta "D",

o        e  palline con la scritta "E"

o        f   palline con la scritta “F”.

 

 

(Sei convinto del fatto che la prova originaria e la "prova modificata", quella con le urne e le palline, sono probabilisticamente equivalenti?  Solo se la tua risposta è affermativa puoi accettare il presente procedimento dimostrativo ...)   Dunque:   i casi possibili sono         Essi appaiono tutti equipossibili (ne sei convinto?)   I casi favorevoli al verificarsi dell'evento “A e poi B” sono .   La probabilità dell'evento “A e poi B” è data dal rapporto     quindi       come volevasi dimostrare.