|
Da un’urna con 5 palline Rosse e 10 Nere si estraggono, una dopo l’altra e senza reimbussolamento, due palline; determinare la probabilità che siano entrambe Rosse. Si tratta di
un EVENTO “A DUE FASI”, per cui
E’
Si poteva procedere anche contando i casi possibili:
|
|
|
Conoscendo, poi, il Calcolo Combinatorio, si sarebbe potuto ragionare pensando a coppie non ordinate di palline, perché, evidentemente, la probabilità di pescare 2 Rosse non cambia se, anziché pescare una pallina dopo l’altra senza reimbussolare, si pescano in un colpo solo, simultaneamente, 2 palline!
|
|
|
q Esempio 2
Se sia la professoressa di Latino che quella di Matematica pescheranno quest’oggi coi bigliettini per determinare il primo studente da interrogare in una classe di 20, che probabilità c’è per la timida Marinella di essere lei la vittima in entrambi i casi?
Pensandolo come un EVENTO “A DUE FASI”, con la fase A e la fase B indipendenti fra loro, si avrà
Si può anche rispondere pensando direttamente al rapporto n° casi favorevoli/n° casi possibili:
|
|
8.3 - “Regola della somma”; generalizzazione a più di due fasi
|
REGOLA DELLA SOMMA PER LE PROVE A DUE FASI: in una "prova a due fasi", la probabilità dell'evento che si verifica se e solo se si verifica l’uno o l’altro di due eventi INCOMPATIBILI è la somma delle rispettive probabilità.
|
Ne omettiamo la dimostrazione (che si effettuerebbe tramite una “prova modificata” tipo quella di pag. 280).
NOTA - Osserviamo che un enunciato analogo a questa “regola della somma” era stato stabilito già in precedenza
(teorema sulla probabilità dell’evento unione, o “teorema delle probabilità totali”);
tuttavia, in quella circostanza si faceva riferimento ad uno spazio di eventi elementari equipossibili,
mentre nelle "prove a due fasi" di cui ci stiamo occupando al presente, non abbiamo più tale condizione,
che si recupera soltanto nel momento in cui si sostituisce la "prova originaria" con la "modificata".
Di qui l'esigenza di una dimostrazione autonoma.
|
q Esempio Come es. di applicazione di questa "regola della somma", riferiamoci ancora al dado e all’urna di pag. 278. Se venisse richiesta la "probabilità di estrarre una pallina Rossa", questa potrebbe essere calcolata come
|
|
GENERALIZZAZIONE A PIU’ DI DUE FASI
Il teorema sugli eventi a due fasi si può facilmente generalizzare al caso di eventi "a più fasi":
La “regola della somma” continua a valere anche nel caso in cui le fasi siano più di due.
|
|
q Esempio
Probabilità, estraendo 3 palline di seguito da un’urna con 4 Rosse e 4 Nere, che siano tutte e tre Rosse?
Vedendolo
come EVENTO “A TRE FASI”:
In alternativa, se si conosce il Calcolo Combinatorio, dato che la probabilità resterebbe uguale se pensassimo di estrarre le 3 palline
non una dopo l’altra, ma simultaneamente:
|
ESERCIZI
1a) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3
palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si
estrae a sorte l’urna da scegliere, e da questa si estrae una pallina.
Determinare la probabilità di ottenere, in
questo modo, a) una Rossa b) una Verde
1b) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3
palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si
estrae una pallina da U1, e la si butta in U2; si estrae poi una pallina da U2.
Determinare la probabilità di ottenere, in
questo modo, alla fine: a) una
Rossa b) una Verde
1c) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3
palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si
estrae una pallina da U2, e la si butta in U1; si estrae poi una pallina da U1.
Determinare la probabilità di ottenere, in
questo modo, alla fine: a) una
Rossa b) una Verde
1d) Ci sono due urne, la prima (U1) contenente 3
palline Rosse e 2 Verdi, la seconda (U2) 1 Rossa e 6 Verdi.
Si estrae una
pallina da U1, la si mette da parte, e si versano le palline restanti
nell’altra urna, da cui si estrae
una pallina. Determinare la probabilità di
ottenere, in questo modo, alla fine: a)
una Rossa b) una Verde
2) Se da un’urna contenente 1 pallina
Rossa e 6 palline Verdi si estraggono 4 palline una dopo l’altra,
determinare
la probabilità che siano tutte Verdi.
3) Si estraggono tre carte da un mazzo
da scopa. Determinare la probabilità che siano tre “ori” (=denari, quadri)
4) In una classe con 8 ragazzi e 12
ragazze, la professoressa di Latino estrarrà a sorte, uno dopo l’altro,
3 “volontari” per le interrogazioni. Calcolare
la probabilità che il primo sia un maschio seguito da 2 femmine.
5) Si lancia un dado per 4 volte di
seguito e si domanda la probabilità che esca “4” almeno una volta.
6) Si lancia un dado per 4 volte di
seguito e si domanda la probabilità che esca “4” una e una sola volta.
1d)
2) oppure, col Calcolo Combinatorio, pensando
alle quaterne ordinate,
|
Si può anche immaginare di estrarre le
palline tutte assieme anziché in successione; la probabilità che risultino tutte Verdi non
cambierebbe; in questo caso, le quaterne verrebbero
pensate NON ordinate |
|
|
|
3) Pensare di estrarle simultaneamente
o una dopo l’altra è indifferente dal punto di
vista della probabilità. Se pensiamo a tre estrazioni successive potremo
applicare il teorema dell’evento a più fasi e avremo: |
|
|
|
Pensando invece
all’estrazione di 3 carte simultaneamente, col Calcolo
Combinatorio otterremo: |
|
|
4)
Come evento a tre fasi: . Col
Calcolo Combinatorio:
5)
6)
=