Probabilità

Il Teorema sugli Eventi a Due Fasi

richiama molto il Teorema delle Probabilità Composte .

Se consideriamo il fatto che “ ” viene spesso letto “ET” ( ), per il fatto che

l’intersezione insiemistica ( ) è strettissimamente legata alla congiunzione logica ( ),

possiamo in definitiva scrivere la TERNA DI FORMULE

II)

III)

dove L’ULTIMA CONDENSA LE PRIME DUE, nel senso che

il connettivo potrà essere interpretato, a seconda dei casi, come “e poi” oppure come “ ”.

Anche la relazione di pag. 275 è sovente riscritta come ;

qui tuttavia, se si vuole che quel simbolo possa essere letto pure come “e poi”,

occorre scambiare di posto A e B a numeratore della frazione a 2° membro.

Per l'occasione, tengo a segnalare che parecchi libri di testo, occupandosi di calcolo delle probabilità,

tendono a IDENTIFICARE i due teoremi

I. II.

mentre in realtà si tratta di teoremi BEN DISTINTI !

E sovente viene dimostrato II), mentre I) non viene nemmeno citato, perché confuso con l’altro!!!

E’ infatti facile leggere un “e poi” semplicemente come “e”, quindi interpretare (erroneamente!)

quella congiunzione “e” come indicante “intersezione” e non “abbinamento”.

Purtroppo quasi tutti i testi mostrano una certa superficialità a questo proposito.

Ma nel caso “A e poi B”, come si fa a parlare di “intersezione”

quando A, B NON sono sottoinsiemi di uno stesso insieme universo?!?!

E’ vero che la confusione concettuale in cui rimane appiattita la maggior parte dei testi

non ha poi conseguenze pratiche, in quanto il risultato finale è poi fortuitamente esatto

in virtù dell’analogia fra I), II) e III); ma l’impostazione è comunque sbagliata!

Va detto che a volte la situazione “A e poi B” può essere ricondotta ad “ ”.

Ad esempio, consideriamo il problema: si estraggono due palline (senza reimbussolamento)

da un’urna contenente 4 Bianche e 3 Nere; che probabilità c’è che siano entrambe Nere?

Qui potremo, indifferentemente, pensare

· all’evento a due fasi “A e poi B” avendo noi posto

A = “Siamo alla estrazione; esce una Nera”

B = “Siamo alla estrazione, nell’urna non c’è più la pallina estratta precedentemente; esce una Nera”

· o all’intersezione fra i due eventi:

E1 = “esce una pallina Nera alla prima estrazione e una pallina di colore qualsiasi alla seconda”

E2 = “esce una pallina di colore qualsiasi alla prima estrazione e una pallina Nera alla seconda”

(osserviamo che E1, E2 sono due insiemi di coppie ordinate!)

Ma non sempre ciò è realizzabile …

Ad esempio, se tentassimo di interpretare il problema da cui abbiamo preso lo spunto

(il dado e le urne, pag. 270; probabilità di una Rossa)

in un’ottica di intersezione, non ci riusciremmo, in quanto, senza il ricorso alla “prova modificata”,

non saremmo assolutamente in condizione di porci in un insieme universo in cui i casi siano equipossibili.

Analogamente a quanto osservato riguardo al connettivo “et”,

possiamo ancora rilevare che il legame fra l’operazione insiemistica di unione ( )

e il connettivo logico di disgiunzione (VEL, ) consente di dare

al Teorema delle Probabilità Totali una qualsiasi delle due formulazioni alternative:

e in particolare, se A e B sono incompatibili,

Nella successiva rassegna di esercizi svolti 1 … 18, emergono ripetutamente le tematiche di questo paragrafo.