a)  Lanciando un dado 5 volte di seguito,

      che probabilità c’è che esca PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia “1”?

 b)  Generalizzazione: il “PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”.

CONSIDERIAMO UN EVENTO ELEMENTARE

(nell’esempio: l’uscita della faccia “1” dal lancio di un dado)

CHE ABBIA UNA DATA PROBABILITÀ p DI VERIFICARSI IN UNA SINGOLA PROVA

(nel caso del dado, è  p = 1/6).

Ci chiediamo:

SE SI EFFETTUANO n PROVE, CHE PROBABILITÀ C’È CHE QUELL’EVENTO

SI VERIFICHI PER ESATTAMENTE k VOLTE

(  ) ?

RISOLUZIONE di a)

L’evento

“lanciando 5 volte un dado, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1”

può verificarsi in parecchie modalità diverse:

·       ad esempio, si verifica qualora “1” esca ai primi 3 lanci, e poi non esca più ai successivi 2 lanci;

·       oppure, si verifica qualora “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2);

·       oppure ancora, si verifica qualora “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci;

·       ecc. ecc.

Fissiamo la nostra attenzione su UNA di queste modalità.

Ad esempio, cominciamo col chiederci:

·       lanciando un dado 5 volte di seguito,

       che probabilità c’è che la faccia “1” esca ai primi 3 lanci, e poi non esca più?

        Facile rispondere: pensando all’ “evento a più fasi” e tenendo conto del fatto che l’esito di un lancio

        non è condizionato in alcun modo dall’esito del lancio precedente, abbiamo:

 Consideriamo ora UN’ALTRA fra le possibili modalità.

 Ad esempio,

·       lanciando un dado 5 volte di seguito,

       che probabilità c’è che la faccia “1” esca esclusivamente agli ultimi 3 lanci (ma non esca ai primi 2)?

       Avremo

 E pensiamo ancora ad UN’ALTRA modalità.

·       Lanciando un dado 5 volte di seguito,

       che probabilità c’è che “1” esca al secondo, al terzo e al quinto lancio, ma non agli altri lanci?

Abbiamo perfettamente capito, a questo punto, che CIASCUNA delle tante modalità con cui l’evento

“su 5 lanci, esce PER ESATTAMENTE 3 VOLTE la faccia 1” si può verificare,

ha probabilità data dal prodotto

Ora, in virtù del teorema sulle probabilità totali per eventi incompatibili, abbiamo:

.

La questione è: QUANTI SONO questi addendi?

Beh … sono TANTI QUANTE LE MODALITA’ CON CUI L’EVENTO

“esce per esattamente 3 volte la faccia 1”

SI PUO’ PRESENTARE.

E l’evento “esce per esattamente 3 volte la faccia 1” si può presentare in tante modalità,

quanti sono i modi in cui, sui 5 lanci, possiamo fissare quei 3 nei quali immaginiamo esca “1”.

Ora, è ben noto che fra 5 oggetti (nel nostro caso: i 5 lanci) noi ne possiamo selezionare 3

è quel numero che risponde alla domanda: “ dati n oggetti, in quanti modi se ne possono scegliere k? ”

Dunque avremo:

GENERALIZZAZIONE

Generalizzando, possiamo enunciare e risolvere, in astratto, il

“PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”

Consideriamo un evento elementare

(nell’esempio precedente: l’uscita della faccia “1” dal lancio di un dado)

che abbia una data probabilità p di verificarsi IN UNA SINGOLA PROVA

(nel nostro esempio del dado, sarebbe  p = 1/6).

Ci chiediamo:

SE SI EFFETTUANO n PROVE, CHE PROBABILITÀ C’È

CHE QUELL’EVENTO SI VERIFICHI PER ESATTAMENTE k VOLTE (  ) ?

Se andiamo adesso a rivisitare l’esercizio 14) di pagina 293,

scopriremo che può anche essere risolto, volendo, con l’appena stabilita “formula delle prove ripetute” …

       In una famiglia con quattro figli, che probabilità sussiste che i maschi siano esattamente due?

In una singola “prova”, abbiamo:

per cui, effettuando 4 “prove”, sarà:

SCHEDA RIASSUNTIVA sul  “PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE”

Supponiamo di effettuare n prove,

in ciascuna delle quali potrà presentarsi oppure non presentarsi un dato evento E.

Indichiamo con  la probabilità che E si presenti in una singola prova;

porremo poi ,

e di conseguenza  indicherà la probabilità dell’evento contrario  in una singola prova.

Bene!

Dato ora un intero k, con  ,

vogliamo determinare la probabilità  

che l’evento E si verifichi esattamente k volte nel corso nelle n prove.

Risoluzione

L’evento E si presenta esattamente k volte nel corso delle n prove

se e solo se, in quelle n prove, E si presenta k volte e il suo evento contrario  si presenta n−k volte.

Il “presentarsi dell’evento E esattamente k volte nel corso delle n prove”

può avvenire secondo parecchie modalità.

Ad esempio, l’evento:

“lanciando 5 volte una moneta, esce Testa esattamente 3 volte”

si può presentare secondo le modalità:  

TTTCC   TTCCT   TCCTT   CCTTT   CTCTT   TCTCT   TTCTC   CTTCT   TCTTC   CTTTC.

Consideriamo una sola di queste modalità: per fissare le idee, potremmo pensare alla modalità

“E si presenta le prime  volte,  le ultime  volte”.

La probabilità di questa modalità fissata è evidentemente  

(teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti).

Ma noi non dobbiamo considerare una sola,

bensì tutte le modalità con le quali E si può presentare per esattamente k volte sulle n prove;

e tali modalità sono tante quante le possibilità di scegliere, dall’insieme delle n prove,

quelle k nelle quali supponiamo che si verifichi E.

Tali modalità sono in numero di  e di conseguenza avremo 

q      Esempio 1: 

      lanciando un dado per 10 volte, che probabilità c’è che esca il “6” esattamente per 3 volte?

                         Risposta:  

q      Esempio 2: 

      lanciando una moneta per 10 volte, che probabilità c’è che esca “Testa” esattamente per 5 volte?

                        Risposta: