8. GLI INDICI DI POSIZIONE (o “di centralità”)

A) LE MEDIE “FERME”

     (una media si dice “ferma” se il suo valore varia senz’altro, qualora uno solo dei termini in gioco cambi).

q      HO COMINCIATO AD ALLENARMI PER LA MARATONA DI NEW YORK!

Lunedì ho corso per 4 km, martedì per 6,5 km, mercoledì per 8 km, giovedì per 2,5 km, venerdì per 5 km,

sabato per 7,5 km, domenica per 8,5 km.

Quanti km ho percorso in media al giorno?

Una “media” fra più numeri, che esprimono quantità della stessa specie, è un numero avente la proprietà

di essere compreso (“medio” = “che sta in mezzo”) tra il minore e il maggiore dei numeri dati.

La risposta alla nostra domanda NON sarà però, evidentemente,

uno qualsiasi fra i valori compresi tra 2,5 e 8,5

e nemmeno il numero esattamente intermedio fra 2,5 e 8,5 (che sarebbe 5,5)!

Ragioniamo. Noi vogliamo trovare quel numero x con la proprietà che,

se in ognuno dei 7 giorni della settimana io avessi corso ogni volta per esattamente x km,

la distanza complessiva percorsa in tutta la settimana sarebbe stata la medesima! Allora

da cui

In effetti, se ogni giorno della settimana il mio percorso fosse stato di esattamente 6 km,

complessivamente nella settimana mi sarei allenato per un totale di ,

esattamente come è  .

q      E’ ragionevole supporre che la prestazione complessiva di uno studente, che ha preso diversi voti

,

possa essere bene rappresentata dal particolare voto  che, se fosse stato preso, sempre quello, tutte le n volte,

avrebbe dato luogo alla stessa somma di voti. Dunque

Ad es., se quello studente ha preso i 5 voti  ,  la sua media è stata  .

E in effetti, se quello studente avesse invece preso come voti successivi   

la somma dei suoi voti, ossia la sua “prestazione totale”, sarebbe stata   

esattamente uguale alla prestazione effettiva totale   

Si dice MEDIA ARITMETICA  fra  numeri , il numero

.

 La media aritmetica fra più valori, è uguale alla loro somma, divisa per il numero dei valori stessi;

 ed è quel nuovo valore il quale, se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco,

 ne lascerebbe invariata la somma.

La “media” di cui ci siamo occupati fin qui è stata la media “aritmetica”

(anche se sovente, per brevità, l’aggettivo viene lasciato sottinteso);

in effetti, ci sono altri tipi di “medie”, oltre a questa, e ora andremo brevemente a illustrarli.

q      Se il COSTO DI UNA MATERIA PRIMA è aumentato:

·    del 5% nel 2001 (s’intende: da inizio a fine anno);

·    del 6% nel 2002;

·    dell’8% nel 2003;

·    dell’8% ancora nel 2004;

·    e del 4% nel 2005,

a)  di quanto è aumentato complessivamente nel quinquennio 2001-2005?

b)  E di quanto è aumentato mediamente ogni anno, in questo quinquennio?

Ragioniamo.

a)  Se il prezzo all’inizio del 2001 era ,

·     alla fine del 2001 è diventato  

·     alla fine del 2002 è diventato  

·     alla fine del 2003 è diventato  

·     alla fine del 2004 è diventato  

·     alla fine del 2005 è diventato ;

      è perciò aumentato, questo prezzo, da inizio 2001 a fine 2005, complessivamente intorno al 35%.

b)  E mediamente, quanto è aumentato?

     Noi cerchiamo in questo momento una percentuale annua x tale che,

     se l’aumento fosse stato ogni anno esattamente dell’x%, si sarebbe raggiunto il medesimo prezzo finale.

     Quindi    

Vuol dire che, se quel prezzo iniziale fosse aumentato ogni anno del , si sarebbe raggiunto,

dopo un quinquennio, lo stesso prezzo finale che si è ottenuto con gli aumenti del  5%, 6%, 8%, 8%, 4%.

Vuoi provare a verificarlo col calcolo?

Presi dunque i valori   

che davano il numero per cui moltiplicare il prezzo all’inizio dell’anno, onde ottenere il prezzo alla fine,

la “media sul quinquennio” di questi moltiplicatori è la radice quinta del loro prodotto

(e non, come nel caso della media aritmetica, la quinta parte della loro somma)!

Si definisce “MEDIA GEOMETRICA” fra più valori, quel nuovo valore il quale,

se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco, ne lascerebbe invariato il prodotto.

Si dimostra facilmente che la media geometrica fra n valori  è data da

Infatti, poiché si desidera

che questa media, sostituita

a ciascuno dei valori,

non ne alteri il prodotto:

Come indicazione generale, possiamo dire che la media geometrica

si utilizza quando i dati sono tali che per essi l’ “operazione regina”

è il prodotto, piuttosto che la somma.

Quindi, in un contesto di tassi di interesse bancari,

o di aumento o diminuzione (rara …) dei prezzi,

o di incremento o decremento del PIL, o di tasso di crescita di una popolazione,

dobbiamo aspettarci di incontrare medie geometriche piuttosto che aritmetiche.

Robert

Kennedy

Discorso

sul PIL

(marzo

1968)

q      Facciamo UN ALTRO ESEMPIO DI NATURA DIVERSA, molto significativo.

Se ho percorso in auto un totale di 100 km, la prima metà andando ai 100 km/h

e la metà successiva, dopo aver visto un brutto incidente, agli 80 km/h soltanto,

quale è stata la mia velocità media?

Rispondere che è stata la media aritmetica delle due velocità,

quindi  km/h, sarebbe magari istintivo … ma clamorosamente SBAGLIATO.

Infatti è logico partire dal presupposto che per “velocità media”, in questo contesto, si debba intendere

quella velocità la quale, se mantenuta costante per tutto il tragitto di 100 km,

mi avrebbe permesso di coprirlo nel medesimo tempo.

E quanto tempo ci ho messo a fare i miei 100 km,

andando per 50 km ai 100 all’ora e per 50 km agli 80 all’ora?

Vediamo.

La prima metà del percorso ha richiesto un tempo, in ore, uguale a

 (mezz’ora, dunque),

mentre la seconda metà ha richiesto un numero di ore dato da

 (0,625 ore, o anche: 37 minuti e mezzo).

Il tempo totale per coprire il tragitto di 100 km è stato dunque di ore  ( .

Ma se una distanza di 100 km venisse percorsa ad andatura costante in ore 1,125

vorrebbe dire che quella velocità costante è di

Quindi in questo caso per calcolare la “velocità media”

NON si deve fare la “media aritmetica delle due velocità”!

Si deve invece procedere

1)      direttamente col ragionamento e col calcolo, come abbiamo fatto noi;

2)      oppure (lo si potrebbe dimostrare) calcolando la cosiddetta media armonica delle velocità.

Si definisce “MEDIA ARMONICA” fra n valori, quel nuovo valore il quale, se sostituito

al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco, ne lascerebbe invariata la somma dei reciproci.

Essa coincide col reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori in gioco.

Si può far vedere (vuoi provarci?) che, se una data distanza  viene suddivisa

in  tratti tutti uguali fra loro (ogni tratto ha quindi lunghezza  ),

e questi tratti vengono percorsi alle velocità  rispettivamente,

per cui il viaggio richiede un certo tempo totale ,

allora la “velocità media”, intesa come la velocità costante

alla quale occorrerebbe muoversi per percorrere la stessa distanza  nello stesso tempo ,

·      non dipende dalla distanza  

·      ed è data dalla media armonica delle velocità:

OSSERVAZIONE

Invece, se noi avessimo un tempo di viaggio fissato  suddiviso in  intervalli di ugual durata ,

e in questi  intervalli uguali di tempo si procedesse alle velocità costanti ,

percorrendo una determinata distanza totale ,

la velocità costante alla quale procedere se si desidera, sempre nel tempo , percorrere la stessa distanza  

non dipenderebbe da  e sarebbe data dalla media aritmetica delle velocità  (dimostralo!)

q      Ancora:

Si definisce “MEDIA QUADRATICA” fra più valori, quel nuovo valore il quale,

se sostituito al posto di ciascuno dei singoli valori in gioco,

ne lascerebbe invariata la somma dei quadrati.

Si dimostra che la media quadratica fra n valori  è data da

Cercando di trarre le conclusioni da questo tentativo di GENERALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI “MEDIA”,

potremo dire (traducendo in forma più semplice una definizione di Oscar Chisini, 1889-1967) che

se si hanno n valori  di una grandezza, si può parlare di “media” ogniqualvolta

si desidera determinare un valore  che, qualora venisse sostituito al posto di ciascuno dei valori dati,

ne lascerebbe invariata, a seconda del tipo di “media”:

·         la somma;

·         o il prodotto;

·         …

·         oppure una qualunque determinata loro “funzione”,

ossia grandezza che dipenda, secondo una legge ben definita, dalle grandezze date.

UNA MEDIA

a)  … IN PARTE DISTRUGGE, E IN PARTE RIESCE A MANTENERE L’INFORMAZIONE;

b)  … E’ UN VALORE “TEORICO”;

c)  … E CI DA’ SOLO QUELLO CHE DA LEI SAPPIAMO DI POTERCI ASPETTARE!

a)      Una media, di qualsiasi tipo essa sia, cerca di sintetizzare in un singolo numero

un’informazione relativa a una pluralità di dati (sovente, a tantissimi dati).

Evidentemente, essa non può pretendere di condensare in sé

tutto il contenuto informativo insito nell’insieme effettivo dei dati;

passando alla “media” tale contenuto in gran parte va perso …

e tuttavia qualcosa, peraltro di molto importante, rimane.

b)      Una media è un valore “TEORICO”, nel senso che ben raramente coincide con uno dei dati in questione

(e, se anche ciò avviene, questo fatto non è comunque particolarmente interessante).

c)      Una media “CI DA’ SOLO QUELLO CHE DA LEI CI ASPETTIAMO”,

nel senso che, ad esempio,

·     una media aritmetica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,

                                                                            ne lascerebbe inalterata la somma;

·     una media geometrica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,

                                                                            ne lascerebbe inalterato il prodotto;

·     una media armonica ci dà quel valore che, se venisse sostituito a ciascuno dei dati,

                                                                         ne lascerebbe inalterata la somma dei reciproci;

·     eccetera.

LA PIENA COMPRENSIONE DEL SIGNIFICATO DI UNA “MEDIA”,

cioè del tipo di informazione che essa ci dà,

È LEGATA ALLA CONSAPEVOLEZZA DI

“QUAL È LA QUANTITÀ CHE RESTEREBBE INALTERATA

SE AL POSTO DI CIASCUNO DEI DATI

SI SOSTITUISSE LA MEDIA DEI DATI STESSI”

Si dice che la media in esame “CONSERVA”

quella determinata quantità:

ad esempio, la media aritmetica “conserva la somma”,

perché, se venisse sostituita al posto di ciascuno dei dati,

la somma di questi non muterebbe.

q       La media con cui lo studente ha quasi sempre a che fare è la media aritmetica

(quando si dice semplicemente “media”, senza aggettivi, è alla media aritmetica che ci si riferisce).

q       Per la precisione, nelle pagine precedenti, avremmo dovuto scrivere

“media aritmetica semplice”, “media geometrica semplice”, “media armonica semplice”, …

per distinguere le medie introdotte dalle corrispondenti medie “ponderate”.

Alla media aritmetica “ponderata” faremo cenno fra breve.

In un’indagine statistica, o in un diagramma statistico,

i “dati” di cui fare la “media” sono le “modalità”

(è ovvio che ha senso farne la media soltanto se queste sono espresse numericamente);

ciascuna modalità viene contata tante volte quant’è la sua frequenza nella popolazione statistica in esame.

Ad esempio, nella rilevazione del numero di figli da 0 a 10 anni di un gruppo di 20 famiglie, 

la distribuzione di frequenze potrebbe essere

0

1

2

3

7

8

4

1

2

5

8

10

15

9

7

5

2

1

Nell’ultimo esempio anziché sommare un certo numero di addendi uguali

abbiamo moltiplicato ciascun addendo per il numero di volte in cui questo andava considerato;

abbiamo cioè fatto quella che, come vedremo poco più avanti, si chiama una “media PONDERATA”.

150

0

154

0

158

1

162

2

166

4

151

0

155

1

159

2

163

2

167

4

152

1

156

2

160

3

164

3

168

3

153

1

157

2

161

2

165

3

169

4

2

5

8

10

15

170

3

174

3

178

2

182

1

186

0

171

2

175

1

179

1

183

0

187

1

172

2

176

2

180

0

184

1

188

0

173

2

177

1

181

2

185

0

189

0

9

7

5

2

1

PROPRIETA’ DEI VARI TIPI DI MEDIA

180

180

184

184

184

190

200

180

180

184

184

184

190

200

PROPRIETÀ: La somma degli scarti dei dati dalla media aritmetica dei dati stessi è sempre uguale a 0.

PROPRIETÀ (che non dimostriamo; potresti però verificarla su di un esempio, tramite un foglio elettronico …)

La media aritmetica è quel valore rispetto al quale è minima la somma dei QUADRATI degli scarti.

Vale a dire, se io calcolo la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica,

questa somma sarà certamente minore di ciò che otterrei se, al posto degli scarti dalla media aritmetica ,

considerassi gli scarti da un qualsiasi altro valore .

Schematicamente: se    sono i dati, e  è la loro media aritmetica, allora la quantità

è minima nel caso .

“Conserva” la somma.

EXCEL, OPENOFFICE:   = MEDIA()

“Conserva” il prodotto

“Conserva” la somma dei quadrati

“Conserva” la somma dei reciproci

B) MEDIE PONDERATE

Avevamo già fatto qualche anticipazione. Riprendiamo il discorso.

Un test su 80 studenti universitari ha fatto registrare i punteggi della tabella qui a fianco

(accanto a ciascun possibile punteggio è stata annotata la relativa “frequenza”,

 ossia il numero di studenti che hanno conseguito quel punteggio).

Qual è stata la media dei punteggi di questo gruppo di studenti?

1

9

2

14

3

25

4

22

5

10

Una “media ponderata” è una normalissima media!

Semplicemente, visto che un dato compare nella rilevazione

più volte, lo si scrive, per comodità, una sola volta, moltiplicandolo

per la sua frequenza, ossia per il numero di volte in cui compare.

Si parla di “media ponderata” anche quando si vogliono assegnare,

ai dati , “PESI” DIVERSI

in quanto i dati vengono ritenuti di diversa “importanza”,

come nel successivo esercizio 2).

La formula è la stessa, solo che al posto delle frequenze  

abbiamo i “pesi”  che si attribuiscono ai vari dati  

Il simbolo  

si chiama “simbolo di sommatoria”.

Scrivere  

significa che si vuole eseguire

la somma di tanti addendi ,

dove  assume:

·      il valore 1 (1° addendo),

·      poi il valore 2 (2° addendo),

·      eccetera,

·      fino al valore .

C) LE MEDIE “LASCHE”: MEDIANA E MODA

     (lasco = allentato, molle, non teso:

      una media si dice “lasca” se, nel caso cambi uno dei termini, la media potrebbe pure restare invariata)

In un test,

i punteggi dei 27 studenti sono stati

quelli riassunti dalla tabella qui a fianco

(punteggio sulla colonna sinistra,

frequenza assoluta di quel punteggio sulla colonna destra).

4

1

5

5

6

7

7

7

8

3

9

3

10

1

27 totale

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

9

9

9

La MEDIANA è definita quando si ha un insieme di dati, disposti in ordine crescente.

Si tratta allora del dato che “occupa il posto centrale” ,

nel senso che metà dei dati considerati sta a sinistra e metà a destra della mediana.

Nel caso in cui il numero di questi dati sia pari, un “dato centrale” non esiste

e quindi, convenzionalmente, si assume come mediana la media aritmetica

fra i due dati che stanno immediatamente prima e immediatamente dopo, rispetto alla posizione centrale.

PROPRIETÀ: La mediana, se è un valore numerico,

è quel valore rispetto al quale è minima la somma dei valori assoluti degli scarti.

Vale a dire, se io calcolo la somma dei valori assoluti degli scarti dalla mediana,

questa somma sarà certamente minore di ciò che otterrei se, al posto degli scarti dalla mediana,

considerassi gli scarti da un qualsiasi altro valore. Verificalo empiricamente con Excel!

E parliamo, infine, di moda.

Per MODA si intende il dato che si è presentato con più frequenza.

La moda potrebbe anche non essere unica!

Nell’esempio sopra considerato della classe col suo test,

ci sarebbero state due “mode”: 6 e 7 (si parla in questo caso di distribuzione “bimodale”).

Nel caso in cui le modalità sono suddivise in “classi”, più che parlare di “moda”

è corretto parlare di “CLASSE MODALE” ( = la classe con maggiore frequenza).

Quando abbia senso parlare tanto di media aritmetica, quanto di mediana, quanto di moda,

la moda ci dà un’informazione diversa rispetto alla media e alla mediana.

E osserviamo che nel caso in cui i dati siano di carattere qualitativo, e non abbia gran senso ordinarli,

non si può parlare né di media né di mediana, mentre la moda è comunque determinabile.

punt

freq

4

1

5

5

6

7

7

7

8

3

9

3

10

1

B

E

L

L

O

Osserviamo che dopo aver digitato    

se clicchiamo sulla cella A1 il foglio inserirà automaticamente nella formula il riferimento ad A1.

A questo punto digiteremo i “due punti”: dopodiché potremo cliccare su P15 e infine chiudere la parentesi.

Comoda alternativa:  si può digitare       poi TRASCINARE il mouse sul rettangolo da A1 a P15.

Allo stesso modo, in B18 inseriremo la formula

ottenendo

Naturalmente, sarà opportuno inserire in celle adiacenti, stringhe adeguate che ci aiutino a ricordare il significato dei numeri ottenuti: ad es.

b)  Digitiamo, ad esempio in C18 e in D18, le formule

e rispettivamente

 …

… nonché, in C19 e D19, le stringhe opportune,

     con l’effetto seguente:

… per terminare in bellezza con la formula,

inserita in L21:

che ci dà la “MEDIA PER CLASSI”,

molto vicina, come possiamo osservare,

alla vera media

precedentemente determinata.