9.  GLI INDICI DI DISPERSIONE

 

Ritorniamo alla congettura del professor Curiosi (pagina 2) riguardo alle sue nuove classi I A e I B.

 

Il professore aveva avuto l’impressione, da una iniziale sommaria conoscenza,

che in una di esse gli studenti fossero “meno omogenei nella preparazione”:

che ci fosse, insomma, un gruppo abbastanza nutrito di allievi molto bravi e un altro gruppo sostanzioso di scarsi.

Nell’altra classe la situazione gli era sembrata diversa, più equilibrata.

 

Dopodiché il professore aveva somministrato alle due classi il medesimo test di ingresso,

che aveva fatto registrare i punteggi seguenti (M = media):

 

I A	51	62	42	58	60	68	61	68	64	70	71	60	51	62	41	51	36	47	58	73	37	54	63	65	(  )
I B	45	48	51	63	51	60	29	52	47	41	52	50	56	62	57	70	55	64	59	55	67				(  )

 

Ci domandiamo ora:

esisterà un indicatore statistico adeguato a valutare se il test effettuato conferma l’impressione iniziale?

 

Un primo indicatore di “dispersione” ( = di “sparpagliamento” dei dati) potrebbe essere

la differenza fra il dato massimo e il dato minimo in ciascuna delle due classi.

 

Vediamo che

·   per la I A questa differenza, detta in statistica “campo di variabilità”, vale  

·   mentre in I B vale .

 

 

 

A giudicare dal “campo di variabilità”, sembrerebbero quindi più disomogenee le prestazioni della I B …

 

… tuttavia, va osservato che il “campo di variabilità” tiene conto di DUE SOLI valori (quelli estremi)

mentre non risente per nulla di tutti i valori intermedi … la presenza, nella classe, anche di un singolo

caso isolato di alunno molto bravo o molto poco preparato potrebbe allora condizionarlo pesantemente.

 

Le prestazioni della “massa” degli allievi non influiscono in alcun modo sul calcolo di questo indicatore!

 

 

Riflettiamo. Quello che veramente ci interessa è di investigare

in quale delle due classi i valori “sono mediamente più lontani dalla media aritmetica”.

 

Potremmo allora pensare, per ciascuna classe, di elencare tutti gli “scarti dalla media”.

 

I A		51	62	42	58	…
	Scarti	−6,2	+4,8	−15,2	+0,8	…
I B		45	48	51	63	…
	Scarti	−9	−6	−3	+9	…

 

Questo sarebbe un buon inizio, ma poi?

Se ora andassimo a calcolare la media aritmetica di questi scarti, per entrambe le classi otterremmo 0!

E certo! Come sappiamo, infatti, la somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è sempre 0.

 

 

Sorge allora l’idea di calcolare la media aritmetica … non degli scarti, ma del VALORE ASSOLUTO di questi.

Tale media si dice “scarto medio” o (più correttamente) “scarto assoluto medio”.

 

 

 

 

Così facendo, otteniamo (verificalo con un foglio elettronico!)  .

 

Vediamo di trarre qualche conclusione.

Per la I A, abbiamo ottenuto   ;   

                           e per la I B   ;    

 

♪        La I A ha uno scarto assoluto medio maggiore: 

i punteggi sono mediamente più lontani, in questa classe, dalla media aritmetica della classe,

segno della presenza “importante” di fasce di allievi che si allontanano alquanto dalla media

 

♫       D’altra parte, il campo di variabilità è maggiore per la I B:

di ciò è responsabile il povero alunno che, purtroppo, ha conseguito un punteggio bassissimo (29 punti).

 

 

Anziché fare la media dei valori assoluti degli scarti,

avremmo potuto anche elevare ciascuno scarto al quadrato, ottenendo così un valore certamente positivo,

per poi fare la media aritmetica dei QUADRATI degli scarti (detta “varianza”).

 

 

In questo modo avremmo avuto    ;    

 

 

Varianza maggiore comporta maggiore dispersione dei dati rispetto alla media della popolazione:

la varianza, in accordo con lo scarto assoluto medio, indica dunque nella I A la classe più disomogenea.

 

 

Son pronto a scommettere che la “varianza” ti appare d’istinto più “antipatica” rispetto allo “scarto assoluto medio”,

che a prima vista sembra assai più semplice e più “spontaneo” da usare, come indice di dispersione.

 

Tuttavia, ti segnalo che nella pratica si preferisce invece utilizzare la “varianza”, e ancora di più

la sua radice quadrata che è chiamata “scarto quadratico medio”, anziché lo “scarto assoluto medio”.

 

I motivi per cui la “varianza” ha un rilievo speciale in statistica sono parecchi.

Qui ci limitiamo a citarne soltanto due.

 

1)      La varianza   

è legata alla media aritmetica in modo assai peculiare.

Infatti si può dimostrare che essa è sempre inferiore a qualsivoglia analoga quantità

 nella quale gli scarti vengano calcolati,

invece che rispetto alla media aritmetica M, rispetto ad un altro qualsiasi valore a.

 

 

Lo “scarto assoluto medio” dal canto suo si ricollega piuttosto ad un altro indice di posizione centrale:

la mediana. In effetti la quantità    è minima (come si potrebbe dimostrare)

quando il valore a è la mediana, NON la media aritmetica dei dati .

 

2)      La varianza è il quadrato dello “scarto quadratico medio”, di cui andiamo a parlare qui di seguito,

e lo “scarto quadratico medio” ha un’importanza colossale in svariate questioni,

come la teoria degli errori di misura.

 

 

 

Lo “scarto quadratico medio” o “deviazione standard” è la radice quadrata della varianza:

 

 

 

 

Lo scarto quadratico medio viene generalmente indicato con  (“sigma”), e la varianza con .

 

 

Nell’esempio precedentemente considerato dei punteggi delle due classi I A e I B, si ha:

 

 

da cui    

 

 

 

Se i dati provengono da una tabella con le frequenze, evidentemente sarà, dette  le frequenze (assolute):

 

 

Le ragioni per cui lo scarto quadratico medio è preferito alla varianza sono sostanzialmente due.

 

1)      La prima è che, se i dati sono, ad esempio, dei metri, la “varianza” sarebbe espressa in “metri quadrati”,

e lo scarto quadratico medio invece ancora in metri. Insomma,

lo scarto quadratico medio ha il pregio di avere la stessa unità di misura dei dati dei quali proviene.

 

 

2)      La seconda ragione è il ruolo cruciale dello scarto quadratico medio nella cosiddetta “gaussiana”,

alla quale accenneremo parlando, più avanti, di “errori di misura”.

 

Per il calcolo dello scarto quadratico medio, anziché la formula  ,

si può anche utilizzare una formula equivalente, più comoda, che è  .

 

 

Per confrontare due distribuzioni in quanto alla loro “variabilità”, alla loro “dispersione”,

si utilizza un indice che è detto “coefficiente di variazione” (di solito espresso come percentuale,

non calcolabile se la media dei dati è 0, e comunque poco significativo quando la media dei dati è vicina a 0):

 

 

 

 

 

NOTA -  Il coefficiente di variazione, essendo il rapporto fra due quantità,  e , che sono espresse

               nella stessa unità di misura, è un numero puro, senza unità di misura (si dice che è “adimensionale”).

 

Ad esempio, se si vanno a misurare i pesi dei bambini nati in un certo periodo in un grande ospedale,

e simultaneamente i pesi delle loro mamme, si osserverà certamente una deviazione standard molto inferiore

nell’insieme dei bambini … Per forza! Infatti i bambini appena nati pesano soltanto due-tre o quattro chili …

quindi anche gli scarti dalla media dei loro pesi saranno piccolini!!! Volendo confrontare le due “variabilità”

(quella dei pesi dei neonati con quella dei pesi delle mamme) si farà ricorso allora al coeff. di variazione.

 

 

RIASSUNTO SCHEMATICO (INDICI DI DISPERSIONE)

 

Indicatori di “DISPERSIONE” o di “VARIABILITÀ”: ci dicono

QUANTO, GLOBALMENTE, I DATI SONO LONTANI DALLA LORO MEDIA ARITMETICA M.

 

Ogni indicatore di dispersione ha la proprietà di essere maggiore

quando i dati si allontanano maggiormente, nel loro complesso, dalla centralità.

 

	E’ un indicatore piuttosto “grezzo”, perché dipende esclusivamente dai due valori estremi ignorando quelli intermedi	EXCEL, OPENOFFICE:   MAX()−MIN()
	Sarebbe minimo qualora al posto della media M ci fosse, nella formula, la mediana	EXCEL, OPENOFFICE:   MEDIA.DEV()
	Ha il difetto di non essere espressa nella stessa unità di misura dei dati	EXCEL, OPENOFFICE:   VAR.POP() (NOTA)
	E’ l’indicatore di dispersione più utilizzato in statistica; è espresso nella stessa unità di misura dei dati, e ha un’importanza decisiva nella teoria degli errori di misura, e, in generale, nelle distribuzioni che tendono a identificarsi con la cosiddetta “gaussiana”	EXCEL, OPENOFFICE:   DEV.ST.POP() (NOTA)
	E’ un numero puro, senza unità di misura, ottimo per confrontare fra loro distribuzioni differenti.
NOTA  su alcune funzioni statistiche nel foglio elettronico   VAR  è dunque, per il foglio elettronico, la cosiddetta “varianza corretta”, ossia un indicatore statistico che, calcolato su di un campione, permette di stimare meglio la varianza incognita dell’intera popolazione. La “varianza corretta” e l’analoga “deviazione standard corretta” si utilizzano quindi in statistica inferenziale … questo tuttavia è un discorso che, se affrontato seriamente, presenta grande interesse ma anche una certa difficoltà.

 

 

TM	TF	BM	BF
96,3	96,4	58	57	I dati qui a sinistra sono tratti dal Journal of the American Medical Association, vol. 268.   Di 130 soggetti, 65 uomini e 65 donne, rappresentanti un campione casuale della popolazione locale, sono stati misurati q      la temperatura corporea, in gradi Fahrenheit, q      e il numero di battiti cardiaci al minuto.   Utilizza un foglio elettronico per calcolare, di ciascuna colonna, q      la media q      lo scarto quadratico medio o deviazione standard q      lo scarto quadratico medio “corretto” q      il coefficiente di variazione (prendi lo sc. q. m. “non corretto” per determinarlo)     Le risposte sono qui in fondo alla pagina, capovolte, ma tu guardale solo alla fine!          Per trovare altri gruppi di dati reali “grezzi” su cui lavorare,    puoi ad esempio consultare le pagine web      http://www.amstat.org/publications/jse/jse_data_archive.htm    e    http://www2.stetson.edu/~jrasp/data.htm     LA STATISTICA di Trilussa   Sai ched'è la statistica? È 'na cosa che serve pe' fa' un conto in generale de la gente che nasce, che sta male, che more, che va in carcere e che spósa. Ma pe' me la statistica curiosa è dove c'entra la percentuale, pe' via che, lì, la media è sempre eguale puro co' la persona bisognosa. Me spiego: da li conti che se fanno seconno le statistiche d'adesso risurta che te tocca un pollo all'anno: e, se nun entra ne le spese tue, t'entra ne la statistica lo stesso perchè c'è un antro che ne magna due.       In tutti i casi seguenti c’è chi mangia 0 polli e chi ne mangia di più: secondo te, quali situazioni sono più equilibrate, meno ingiuste?   Prova a calcolare media, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione …     2 persone:  0 polli, 2 polli 3 persone:  0 1 2 5 persone:  0 1 1 1 2 6 persone:  0 0 1 1 2 2 4 persone:  0 0 0 4 6 persone:  0 0 0 1 1 4 3 persone:  0 2 4 5 persone:  0 3 3 3 6
96,7	96,7	63	57
96,9	96,8	64	59
97	97,2	64	61
97,1	97,2	64	61
97,1	97,4	65	62
97,1	97,6	66	62
97,2	97,7	66	64
97,3	97,7	67	64
97,4	97,8	67	64
97,4	97,8	68	65
97,4	97,8	68	65
97,4	97,9	68	66
97,5	97,9	69	66
97,5	97,9	69	68
97,6	98	70	68
97,6	98	70	68
97,6	98	70	69
97,7	98	70	69
97,8	98	70	69
97,8	98,1	70	69
97,8	98,2	71	70
97,8	98,2	71	71
97,9	98,2	71	72
97,9	98,2	71	73
98	98,2	71	73
98	98,2	72	73
98	98,3	72	73
98	98,3	72	73
98	98,3	72	74
98	98,4	73	74
98,1	98,4	73	75
98,1	98,4	73	76
98,2	98,4	73	76
98,2	98,4	73	77
98,2	98,5	74	77
98,2	98,6	74	77
98,3	98,6	74	77
98,3	98,6	74	77
98,4	98,6	75	78
98,4	98,7	75	78
98,4	98,7	75	78
98,4	98,7	75	79
98,5	98,7	76	79
98,5	98,7	77	79
98,6	98,7	77	79
98,6	98,8	78	79
98,6	98,8	78	79
98,6	98,8	78	80
98,6	98,8	78	80
98,6	98,8	78	81
98,7	98,8	78	81
98,7	98,8	78	81
98,8	98,9	79	82
98,8	99	80	82
98,8	99	80	83
98,9	99,1	81	83
99	99,1	81	84
99	99,2	82	84
99	99,2	82	84
99,1	99,3	82	85
99,2	99,4	83	86
99,3	99,9	83	87
99,4	100	84	89
99,5	100,8	86	89