11. GLI ERRORI DI MISURA

La Gaussiana è una curva la cui equazione è nientemeno che  ,  dove:

 (ben noto);   (numero di Nepéro); 

 sono due numeri fissi che, nel caso in cui la curva abbia a che fare con il problema da noi ora esaminato,

ossia quello delle misure ripetute di una quantità (affette da errori “casuali” o “statistici”),

sono interpretabili come rispettivamente la media aritmetica e lo scarto quadratico medio

che si otterrebbero facendo un numero colossale ( = tendente all’infinito) di misure.

Trovi la cosa complicata? In effetti, lo è …  

Questi studi richiedono nozioni matematiche più avanzate (la teoria delle “distribuzioni di probabilità”)

e non è facile, in una trattazione di carattere non specialistico,

mantenere il discorso su di un livello che sia nel contempo accessibile e rigoroso …

… ma noi ci proviamo.

Se le misurazioni effettuate, affette da errore casuale, sono tante

(di solito, detto n il numero di misure, “tante” significa perlomeno n>30,

 ma alcuni Autori scrivono n>50 o n>60, altri n>100 … insomma, più sono, meglio è),

 allora l’istogramma delle frequenze tende ad assomigliare ad una gaussiana;

 e quanto più tale somiglianza sussiste, tanto più,

detta  la media di queste misure   

e detto  il loro scarto quadratico medio  ,

sono corrette le affermazioni seguenti:

a)     è un valore prossimo al vero valore della grandezza in questione,

dove per “vero” valore si intende quello che si otterrebbe come media su di un numero enorme di misure

b)    circa il 68 % delle misure effettuate rientra nell’intervallo  

circa il 95 % delle misure effettuate rientra nell’intervallo  

circa il 99,7 % delle misure effettuate rientra nell’intervallo  

c)    se facessi un’ulteriore misura, questa avrebbe

circa il 68 % di probabilità di cadere nell’intervallo  

circa il 95 % di probabilità di cadere nell’intervallo  

circa il 99,7 % di probabilità di cadere nell’intervallo  

Di solito, per misurare una grandezza fisica, si effettua un certo numero n di operazioni di misura,

si calcolano la media  e lo scarto quadratico medio  degli n valori così trovati,

poi si scrive che la grandezza in gioco vale

,

dove per la piena comprensione di questa scrittura occorre tenere presenti le tre considerazioni a), b), c).

Torniamo soltanto a ribadire alcuni concetti davvero fondamentali.

Affinché le affermazioni precedenti siano corrette, il numero n delle misure deve essere “GRANDE”…

Inoltre le affermazioni contengono degli avverbi “circa”,

non solo per il fatto che i valori 68 %, 95 %, 99,7 % sono tutti approssimati, ma soprattutto per il fatto che

si sta pensando ad una configurazione probabilistica ideale

alla quale si tende ad avvicinarsi (SENZA PERO’ RAGGIUNGERLA) al crescere di n .

La veridicità di a), b), c) è tanto maggiore quanto più  (media delle n misure realmente effettuate)

è prossimo a  (vero valore della grandezza, media su un numero di misure che tende all’infinito)

e quanto più  (s. q. m. delle n misure realmente effettuate) è prossimo a  (s. q. m. su “infinite” misure);

ora, è all’aumentare del numero delle misure che effettivamente  tendono a identificarsi con  !!!

ESEMPIO

Qui sotto riportiamo 96 misure in mm della larghezza della lavagna di un’aula,

rilevate dai 24 studenti, che hanno effettuato 4 misurazioni ciascuno:

2241

2240

2244

2239

2246

2244

2242

2240

2244

2242

2246

2244

2241

2244

2242

2241

2244

2243

2242

2241

2242

2242

2240

2242

2246

2243

2244

2241

2246

2244

2243

2242

2238

2242

2245

2241

2243

2243

2246

2243

2241

2243

2244

2243

2247

2245

2242

2245

2244

2246

2240

2242

2243

2241

2244

2245

2245

2241

2242

2241

2243

2242

2243

2239

2243

2238

2242

2245

2241

2245

2243

2242

2240

2241

2244

2242

2243

2242

2241

2243

2243

2242

2243

2242

2244

2244

2243

2240

2243

2245

2242

2240

2243

2242

2243

2244

Il calcolo ci dà   

Se ora andiamo a contare il numero di misure che sono comprese nell’intervallo

, vediamo che tali misure sono 70.

Bene, 70 non è lontano dal 68,3 % di 96 (che vale circa 65,6) .  [vedi NOTA]

Ecco l’istogramma della distribuzione di frequenza,

che in effetti presenta, pur con irregolarità,

il tipico andamento “a campana”.

NOTA - Per la precisione, quello che abbiamo

inizialmente indicato come il 68%

avrebbe potuto essere meglio approssimato

come 68,3 %, e il 95% come 95,4 %.

Oppure, si sarebbe potuto scrivere 95%

ma sostituendo il fattore 2 con un più preciso 1,96.

Lo diciamo per scrupolo, e tuttavia insistiamo:

non dobbiamo confondere la configurazione

probabilistica ideale, teorica, alla quale

ci si avvicinerebbe se n tendesse a infinito,

con la situazione reale,

che è approssimata bene,

ma non certo alla perfezione, quando n

comincia ad essere >30, o meglio ancora >100.

Un’ultima puntualizzazione.

La Statistica Inferenziale insegna che, per meglio stimare lo scarto quadratico medio  relativo alle

“infinite” misure, è più giusto calcolare lo scarto quadratico medio  del “campione di n misure”

attraverso la formula “corretta” che si ottiene prendendo come denominatore  anziché :

E’ pur vero che quando n è grande, scarto quadratico medio “corretto” e “non corretto”

differiscono di pochissimo; e quando n non è grande, la teoria esposta non vale più!

Già per valori di n dell’ordine di qualche decina, la differenza è assai piccola.

Ad esempio, con , il fattore  vale  che è molto vicino a 1!

In EXCEL e in OPENOFFICE

lo scarto quadratico medio “non corretto” è  dev.st.pop()  mentre quello “corretto” è  dev.st()

APPROFONDIMENTO (NON SEMPLICE): INTERVALLI DI CONFIDENZA, ERRORE STANDARD

In realtà, quando andiamo a calcolare la media  e lo scarto quadratico medio  

sulle n misure che abbiamo effettuato, il nostro interesse è puntato, più che a quelle particolari n misure,

al valore “vero”  che ci è sconosciuto  della grandezza in esame.

Ora, abbiamo già detto che quest’ultimo può essere pensato come

“quel valore  che si otterrebbe come media su di un numero sterminato di misure”.

Bene … ma fino a che punto possiamo ritenere che la media  da noi calcolata sia prossima al “vero” valore ?

La “statistica inferenziale” ci insegna che se noi effettuiamo una serie di n misure,

ed n è grande (certi Autori scrivono n>30, altri n>50 o 60, altri ancora n>100;

… in realtà … quanto stiamo dicendo tende ad essere tanto più veritiero quanto più n è alto),

allora, determinando per queste n misure la media  e lo scarto quadratico medio ,

il vero valore  avrà una probabilità

q      del 68 % circa di rientrare nell’intervallo  

q      del 95 % circa di rientrare nell’intervallo  

q      del 99,7 % circa di rientrare nell’intervallo  

anche se per maggiore precisione concettuale, poiché il “vero valore” è …  quello che è, è costante,

mentre a variare è invece l’insieme delle n misure e con esso l’intervallo che ne deriva

(è come se noi “estraessimo a sorte un intervallo, per poi domandarci se comprende o no il valore “vero”),

bisognerebbe piuttosto partire “dal punto di vista dell’intervallo”, dicendo che

q      il 68 % circa degli intervalli  

costruiti ciascuno facendo n misure e calcolandone i relativi  e  

contiene al suo interno il “vero” valore (e il 32 % circa lo lascia invece al suo esterno)

q      il 95 % circa degli intervalli ecc. ecc.

q      il 99,7 % circa degli intervalli ecc. ecc.

Questi intervalli di cui abbiamo parlato vengono chiamati “INTERVALLI DI CONFIDENZA”.

Ad es.,  è un “intervallo di confidenza al 99,7%” per il vero valore della grandezza.

Osserviamo l’uso del termine “confidenza” ( = fiducia) al posto di “probabilità”.

La quantità  viene detta “ERRORE STANDARD DELLA MEDIA” (o brevemente: “errore standard”),

e, se n è grande,  così come  è una buona approssimazione per ,

allo stesso modo  è una buona approssimazione per  e quindi  è una buona approssimazione per .

Il discorso è intrigante, ma complicato. RICAPITOLIAMO LE PREMESSE E LA SIMBOLOGIA.

Stiamo supponendo di ricercare il valore “vero” di una grandezza, tramite una misura, anzi:

tramite una serie di n misure, di cui faremo poi la media.

 è il vero valore della grandezza in questione.  è incognito.  viene approssimato con la media  

delle n misure realizzate.

Se noi avessimo la possibilità di effettuare un numero grandissimissimissimo di misure,

al tendere all’infinito di questo numero, la media delle misure tenderebbe a .

Ma noi per forza di cose ci dobbiamo accontentare delle nostre n misure.

n è grande, ma non colossale: prenderemo n almeno maggiore di 30, preferibilmente >100 …

tuttavia le nostre misure, pur essendo tante, saranno n e basta.

A quel punto calcoleremo la media  e lo scarto quadratico medio  di quelle n misure.

Bene, abbiamo fiducia che  sia già una approssimazione piuttosto precisa per ,

e che  sia già prossimo a quello che sarebbe lo s. q. m.  se noi potessimo effettuare “infinite” misure.

Possiamo anzi “quantificare” questa nostra “fiducia”.

Se consideriamo, ad esempio, l’intervallo , la nostra fiducia che questo intervallo

contenga  è all’incirca del 95%, perché la Statistica Inferenziale ci insegna che,

qualora andassimo a barbosissimamente effettuare 100 serie, o 1000 serie, …, di n misure ciascuna,

calcolando per ognuna di queste il relativo  e il relativo ,

all’incirca il 95%  degli intervalli  così costruiti conterrebbero .

Questo è tanto più vicino al vero quanto più n è grande, ma a partire da  cominciamo già ad andar benino!

ESEMPIO

Prendiamo in prestito un esempio dal testo “Essential medical statistics” di B. R. Kirkwood e J. A. C. Sterne,

dove ogni cosa è spiegata con calma, precisione, e ottimi riferimenti concreti (hats off, giù il cappello!)

In realtà qui si ragiona in un ambito più generale del nostro.

Viene esaminata, nell’esempio, non una singola grandezza misurata più volte, bensì una “popolazione”

concreta e limitata (l’insieme delle 10000 case), nonché un suo “campione” (le 100 case che vengono visitate).

Ma si potrebbe, con una analisi più approfondita, verificare che lo stesso discorso fatto per le misure

vale, nei suoi tratti essenziali, anche in questo contesto.

Nell’ambito di un piano per l’eradicazione della malaria

si progetta di trattare con insetticida tutte le 10000 case di una certa area rurale.

Problema: quanto insetticida acquistare?

Per deciderlo, si estrae da quelle 10000 case un campione casuale di 100 case, e le si ispeziona

per misurare in ciascuna casa la superficie che richiede di essere bonificata.

In quelle 100 case la superficie media su cui spruzzare l’insetticida

risulta essere di  con uno scarto quadratico medio .

Non è realistico a questo punto supporre che la superficie media  rilevata nel campione di 100 case

coincida con la media  della superficie da disinfestare nell’intera “popolazione” delle 10000 case;

tuttavia, è possibile valutare quanto sia da ritenere affidabile la media campionaria  

se si va a calcolare l’errore standard .

A questo punto, infatti, si può dire che l’intervallo  ha una probabilità del 68 % circa

di contenere il valore incognito  della media di tutta la “popolazione” delle 10000 case;

e che l’intervallo  ha una probabilità del 95 % circa di contenere .

Allora l’intervallo  è un intervallo di confidenza al 95% per ; se quindi ipotizziamo

che  appartenga a questo intervallo, abbiamo una probabilità del 95% circa di ipotizzare il vero.

 dovrebbe perciò, al 95% di “confidenza”, di “fiducia”, non essere superiore a  

per cui se acquistiamo una quantità di insetticida tale da poter coprire  

abbiamo il 95% di probabilità che questo sia sufficiente al bisogno.

Tutto il discorso fatto regge bene perché la numerosità del nostro campione (n = 100) è decisamente alta.

Coraggio, allora: abbiamo stimato quanto insetticida plausibilmente ci serve, andiamo a procurarcelo.

E se volessimo comprare l’insetticida sulla base di una confidenza del 99,7 % circa?

Per quanti metri quadrati dovremmo attrezzarci? Fai tu i vari calcoli: troverai circa .

Il ruolo dello scarto quadratico medio (SD, Standard Deviation) e quello dell’errore standard della media

o semplicemente errore standard (SEM, Standard Error of the Mean) non devono essere confusi.

Sovente alcuni risultati, ad esempio in Medicina, vengono scritti con un’incertezza uguale al SEM,

che è sempre per definizione minore della SD, proprio per dare l’idea di una minore variabilità …

ma ciò può essere fonte di fraintendimenti gravi, se il lettore poi confonde questo SEM con la SD.

Cerco di spiegarmi.

Supponiamo che una certa caratteristica quantitativa x relativa al sangue umano venga testata

su di un campione di 400 individui presi a caso dalla popolazione generale,

e si trovi che in questi individui la caratteristica in gioco vale ,

essendo 235 la media calcolata sui 400 individui osservati, e 42 la SD delle 400 osservazioni.

Supponiamo inoltre che si sappia che la caratteristica studiata si distribuisce nella popolazione

secondo la “campana” di Gauss o comunque una sua buona approssimazione (NOTA)

Bene, se si scrive che la caratteristica in esame è stata osservata, in quel campione di 400 soggetti,

con un valore dato da , allora un medico che legge l’articolo scientifico potrà dire:

in quel campione di 400 persone, pressappoco il 95%

aveva quel valore compreso fra  e , e siccome quel campione

(essendo abbastanza numeroso) è un’immagine piuttosto fedele dell’intera popolazione,

se si presenta da me un paziente che ha quel valore minore di 151 o maggiore di 319,

sono portato a classificare quel caso come anomalo e tale da richiedere ulteriori indagini cliniche;

se invece in un paziente il valore è esterno all’intervallo  

(2,1 è l’Errore Standard della Media o SEM, quando la SD è di 42 e :  ),

questo non mi preoccuperà affatto!

Piuttosto, l’intervallo  è un intervallo di confidenza al 95% per x, nel senso che ha il 95%

di probabilità di contenere il “vero valore” di x, ossia la media dei valori di x nell’intera popolazione.

Quindi

♪        il SEM mi interessa per valutare con quale probabilità un dato intervallo intorno alla media campionaria

contenga la media dell’intera popolazione, ossia in un’ottica di STIMA DELLA MEDIA INCOGNITA ,

♫       mentre la SD mi interessa per quantificare la DISPERSIONE delle rilevazioni NEL MIO CAMPIONE,

considerazioni che poi posso estendere tali e quali all’intera popolazione, perché,

dato il numero elevato di elementi del campione e dato che erano stati estratti casualmente dalla popolazione,

il campione rappresenterà abbastanza fedelmente la popolazione intera.

NOTA - Questa richiesta è molto importante, perché se è vero che parecchi fenomeni hanno una distribuzione

approssimabile alla gaussiana, ciò non è vero per altri! Ad esempio, hanno una Gauss-like distribution 

le distanze dal centro di un bersaglio per una serie di tiri, o anche le altezze o i pesi o i quozienti di intelligenza

delle persone. Comunque è meglio dire che tali distribuzioni sono “approssimativamente” gaussiane, ed è facile

rendersi conto di questo se si pensa che la curva di Gauss è simmetrica e quindi, se la distribuzione dei pesi delle

persone adulte tendesse realmente a una gaussiana, posto per semplificare che la media sia 70 kg, la probabilità di

trovare una persona da 140 a 150 kg dovrebbe essere uguale a quella di trovarne una che pesi … da  kg a 0 kg!

Sinonimo di “distribuzione GAUSSIANA” è “distribuzione NORMALE”.

Le considerazioni qui sopra riportate possono rendere una prima pallida e approssimativa idea

di alcune fra le questioni di cui si occupa la

STATISTICA INFERENZIALE.

Essa interviene quando si cerca di studiare una caratteristica dell’intera popolazione

tramite osservazioni condotte su di un suo sottoinsieme ( “campione”),

e occorre quantificare il grado di attendibilità di questo procedimento.

Come nei sondaggi elettorali.

Come nelle ricerche farmacologiche, nelle quali si va a confrontare l’evoluzione clinica di due gruppi di malati,

a uno dei quali viene somministrata la sostanza attiva e all’altro, invece, un preparato inerte (il “placebo”).

Come nei test finalizzati a verificare (in un determinato contesto) la bontà di una ipotesi.

La statistica inferenziale considera anche il caso in cui siano disponibili solo piccoli campioni.

Noi però, nei limiti del nostro corso, ci dobbiamo fermare ai pochi cenni dati, senza approfondire oltre.

E’ poi evidente che quando si è scelto qual è il “tipo di errore” (sarebbe meglio dire: INCERTEZZA!!!)

che si vuol scrivere accanto alla media delle misure, questa scelta va INDICATA ESPLICITAMENTE!

GLI ERRORI “SISTEMATICI”

Nel valutare la misura di una grandezza fisica,

oltre agli errori “CASUALI” (detti anche “ACCIDENTALI” o “STATISTICI”)

(ossia: oltre agli errori legati a circostanze imprevedibili e mai completamente controllabili,

le quali possono influire sul risultato della misura ora per difetto, ora per eccesso),

si possono commettere anche errori cosiddetti SISTEMATICI.

Questi influiscono sempre per difetto o sempre per eccesso sul valore rilevato, e derivano:

q      dall’inadeguatezza dello strumento di misura (esempi: un orologio che “ritardi”, un termometro che

con la propria temperatura vada a modificare in modo sensibile la temperatura dell’oggetto in esame …)

q      dall’uso non appropriato di tale strumento (es.: dimenticarsi di “azzerarlo”, quando ciò sia necessario)

q      da applicazione di leggi sbagliate o metodi sbagliati di indagine

(ad esempio cercare di determinare la profondità di un pozzo

 lasciandovi cadere una pietra e annotando dopo quanti secondi si sente “splash”,

 per poi utilizzare la formula nota che regola spazi e tempi nella caduta dei gravi

 … ma senza tener conto che il suono dell’impatto con l’acqua

 ci mette a sua volta un certo tempo per salire dal fondo del pozzo alle nostre orecchie).

Gli errori sistematici possono essere individuati ed eliminati o perlomeno minimizzati,

mentre sugli errori accidentali non possiamo far nulla

(a parte, ovviamente, cercare di effettuare l’operazione di misura con tutta l’attenzione di cui siamo capaci);

l’incertezza legata agli errori accidentali è ineliminabile:

può solo essere quantificata coi metodi visti sopra,

e ridotta facendo, se possibile, un numero elevato di misure.

Alcuni testi introducono come categoria a sé stante gli “ERRORI DI SENSIBILITA’ ”,

ossia quelli legati alla sensibilità dello strumento.

Se misuro la larghezza di un foglio di carta con un righello le cui tacche più ravvicinate siano quelle dei mm,

a ogni misura sarà comunque associata un’incertezza di  (secondo alcuni, di 1 mm)

Gli errori casuali si presentano solo quando sono maggiori della sensibilità dello strumento!!!