12. ARROTONDAMENTI E CIFRE SIGNIFICATIVE
E’ assai comune nella vita quotidiana fare uso di approssimazioni di un valore “vero”: quando dico
“il mio appartamento è di 70 ”, oppure “sono le 11 di sera”, o “andrò in
ferie in un paesino di 200 abitanti”,
io per l’appunto “approssimo”, “arrotondo”, e in tutti questi esempi è evidente che lo faccio perché,
in simili contesti, non ho bisogno di una precisione più elevata.
Ma anche nelle Scienze sperimentali, ad esempio in Fisica, l’approssimazione di valori numerici è la normalità.
Una delle ragioni di questo fatto sta nell’impossibilità di evitare gli “errori casuali” all’atto della misura.
Sarebbe illusorio, d’altra parte, ritenere di rendere più alta la qualità di una misura
semplicemente portandosi dietro un numero di cifre maggiore …
tale qualità non dipende da quante cifre leggiamo, ha a che fare soltanto con lo strumento e il protocollo utilizzati.
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♪ Se vengono trasformate in “0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra, quando la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4, allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5 (ma vedi NOTA), 6, 7, 8 o 9, allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
Esempi: l’arrotondamento di 54321 alle decine è 54320; quello di 0,23701 ai centesimi è 0,24
NOTA:
l’arrotondamento “
Se la prima cifra da mutare in “0” è 5, e tale cifra è l’ultima del numero, oppure è seguita solo da “zeri”, allora il passaggio al “valore più vicino” potrebbe essere fatto indifferentemente per difetto o per eccesso, perché ad esempio il numero 1,235 ha la stessa distanza sia da 1,23 che da 1,24; tuttavia, nel caso in cui i numeri da sottoporre ad arrotondamento siano tanti, come può accadere quando si sta manipolando un gruppo di dati sperimentali, si tende a procedere in modo un poco diverso, ossia: se la cifra che precede il 5 è pari, la si lascia invariata, mentre se è dispari, la si aumenta di un’unità. In tal modo le approssimazioni per difetto e per eccesso così effettuate tenderanno a “bilanciarsi”(sui valori arrotondati secondo questa convenzione, metà circa lo saranno per difetto e l’altra metàper eccesso), e l’insieme di dati risentirà il meno possibile, globalmente, delle modifiche apportate.Per esempio, volendo arrotondare ai centesimi 3,875 3,645 3,735 3,865 si scriverà rispettivamente 3,88 3,64 3,74 3,86
Col “banker’s rounding”, l’ultima cifra del numero arrotondato sarà sempre pari! (even = pari)
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LE CIFRE SIGNIFICATIVE NELLE SCIENZE SPERIMENTALI
Nelle scienze sperimentali è frequentissimo avere a che fare con numeri dei quali conosciamo con certezza alcune cifre (le prime a sinistra), ma non tutte.
Sono allora “significative” tutte le cifre certe del numero, più la prima cifra incerta. Questo come idea generale: occhio tuttavia alle specificazioni che seguono.
q Tutte le cifre diverse da 0 sono
significative. Ad esempio, la misura di
tempo
q Gli 0 iniziali NON sono
significativi. Ad esempio, la lunghezza
q Gli 0 compresi fra cifre non
nulle sono significativi.
q Gli 0 finali vanno scritti soltanto se sono significativi, cioè corrispondono alla precisione effettivamente raggiungibile dallo strumento di misura. Mi spiego: cm mentre cm
Ancora: scrivendo m 1350 per indicare una profondità marina, sottintendo che anche lo 0 finale sia significativo, ossia dichiaro di aver utilizzato una tecnica di misura che mi permetteva di valutare anche il singolo metro. Supponiamo invece che già la cifra 5 sia incerta (cioè, che le misurazioni effettuate non andassero oltre la precisione dei 10 metri): bene, dovrei allora scrivere
q Scrivere il numero in NOTAZIONE ESPONENZIALE permette di vedere bene le cifre significative (sono tutte e sole quelle del moltiplicatore della potenza di 10). Esempi:
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QUALORA SI SIA FATTO UN CERTO NUMERO DI MISURE PER UNA DATA QUANTITÀ, IL VALORE DELLA QUANTITÀ IN ESAME
SI DETERMINERÀ FACENDO DELLE MISURE TROVATE, POI
SCRIVENDO CHE dove quel che associamo al valore scarto quadratico medio o da un suo multiplo, ecc., come abbiamo spiegato nel paragrafo precedente.
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Il simbolo
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D’altra parte, sia la media che l’incertezza subiscono sempre un ARROTONDAMENTO. Vediamo come.
Andiamo a riprendere i dati sul periodo del pendolo. Le 40 rilevazioni avevano fornito i valori (in secondi):
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4,82 |
4,84 |
4,83 |
4,79 |
4,83 |
4,86 |
4,86 |
4,82 |
4,83 |
4,87 |
4,88 |
4,87 |
4,89 |
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4,83 |
4,75 |
4,86 |
4,82 |
4,84 |
4,87 |
4,81 |
4,78 |
4,85 |
4,86 |
4,84 |
4,79 |
4,84 |
4,88 |
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4,85 |
4,80 |
4,84 |
4,85 |
4,89 |
4,85 |
4,83 |
4,79 |
4,84 |
4,81 |
4,85 |
4,84 |
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E’ evidente che si era utilizzato un dispositivo in
grado di apprezzare i centesimi di
secondo.
La media
di queste misure è
,
e lo scarto quadratico medio
.
Bene!
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Nelle scienze sperimentali di solito si osserva la prassi
seguente: a)
L’INCERTEZZA
IN MODO CHE CONSERVI 1 CIFRA SIGNIFICATIVA SOLTANTO
O
AL MASSIMO DUE CIFRE SIGNIFICATIVE SE |
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b)
DOPODICHE’
PIÙ A DESTRA ( =
DELLA CIFRA MENO SIGNIFICATIVA PRESENTE NELL’INCERTEZZA Insomma, vanno bene nell’incertezza!) ma non
andrebbe bene invece Di
conseguenza, nel caso del pendolo da noi considerato, a) arrotonderemo l’incertezza: b) poi arrotonderemo la media la
stessa posizione decimale della cifra più a destra dell’incertezza (nel
nostro caso, i centesimi). E scriveremo in definitiva che il
periodo del nostro pendolo è di secondi Ribadiamolo: 0,03 è qui lo scarto quadratico
medio, e il suo significato è di affermare che circa il 68% delle misure effettuate si trova
nell’intervallo che ha centro la media e raggio 0,03 e che … ecc. ecc. q
Trovo come media Bene, allora arrotondo lo scarto quadratico medio a 0,4 (in modo che
rimanga 1 sola cifra significativa) e a questo punto arrotondo pure la media a q
Trovo come media Bene, allora arrotondo lo scarto quadratico medio a 3 (in modo che
rimanga 1 sola cifra significativa) e a questo punto arrotondo pure la media a 528 scrivendo il valore
della grandezza come q
Trovo come media Arrotondo allora lo scarto quadratico medio a e a questo punto arrotondo pure la media a q
Trovo come media Arrotondo lo sc. q. m. a e a questo punto arrotondo pure la media a q
Ho fatto poche misure. La loro media è La semidispersione ha già una cifra significativa soltanto: va bene
così com’è. Ma allora devo arrotondare la media alle decine, e scrivere il valore come NOTA - Non tutti sono concordi. Noi faremo così, ma alcuni
accettano nell’incertezza fino a 2 cifre significative. Altri suggeriscono di usare due cifre
significative se la prima cifra è bassa (c’è chi dice 1 o 2, c’è chi dice 1,
2, 3 o 4), altrimenti una. In effetti, se la prima cifra è piccola, eliminare con l’arrotondamento la
seconda porterebbe ad una perdita di precisione ritenuta eccessiva anche per
un’incertezza. Ma occorre trovare sempre un buon compromesso fra una ragionevole precisione, da
una parte, e l’immediata leggibilità della scrittura, dall’altra. |
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Supponiamo che un dato
sperimentale non venga presentato
sotto la forma ,
ossia che non venga
specificata nessuna incertezza:
allora si intende che l’incertezza sia implicita nell’ultima cifra.
Il guaio è che tutto ciò non viene interpretato universalmente allo
stesso modo!
Ad esempio, per alcuni è da leggersi come
ossia
;
per altri, va letto come
ossia
ALTRI
ESEMPI
Qui l’errore (l’incertezza) non va bene, va
riscritta con una sola cifra significativa:
Qui è il valore che va riscritto. La
scrittura dev’essere corretta in
in maniera che
l’ultima cifra della grandezza e l’ultima cifra dell’incertezza abbiano
lo stesso posto decimale.
Non va. L’incertezza è alle decine, quindi il
valore va a sua volta arrotondato alle decine:
o meglio
L’incertezza non va, dobbiamo ridurla a una
sola cifra significativa.
Scriveremo arrotondando anche il valore della grandezza
in modo che la sua ultima
cifra a destra abbia ugual posto dell’analoga per l’incertezza.
Qui possiamo lasciare l’incertezza così
com’è, con 2 cifre significative (quindi la scrittura va bene):
“l’incertezza viene sempre arrotondata in modo che conservi
1 cifra significativa soltanto,
o al massimo due cifre sign. se la prima di esse è 1 (c’è chi dice:
se la prima di esse è ‘piccola’)”.
Questa eccezione viene
accettata perché, se non si facesse così, in questo caso
l’arrotondamento
dell’incertezza sarebbe troppo “pesante” se rapportato con l’incertezza stessa.
ESERCIZIO (risposte
a pag.
72)
1) Prendi in
esame ciascuna delle seguenti scritture, per stabilire se è corretta o no.
In
quest’ultimo caso, apporta le modifiche appropriate.
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a) |
b) |
c) |
d) |
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e) |
f) |
g) |
h) |
QUANTE CIFRE LASCIARE NEL RISULTATO
DI UN CALCOLO SU DATI INCERTI?
Quando si fa una ADDIZIONE o una SOTTRAZIONE
fra numeri che derivano da misurazioni affette da incertezza, il risultato dovrà contenere
lo stesso numero di CIFRE DOPO
Facciamo qualche esempio.
q ma siccome l’addendo meno “preciso” conteneva
soltanto 1 cifra dopo la virgola, la somma dev’essere arrotondata a
q però qui l’addendo meno preciso non portava
cifre dopo la virgola
per cui dobbiamo arrotondare la somma ottenuta
alle unità e scriverla come
q che però dev’essere arrotondato a
(e il “,0” va conservato perché
comunque la cifra 0 dopo la virgola è significativa)
Quando si fa una MOLTIPLICAZIONE o una DIVISIONE
fra numeri che derivano da misurazioni affette da incertezza, il
risultato dovrà contenere
lo stesso numero di CIFRE SIGNIFICATIVE del termine che ne contiene di
meno.
Esempi.
q
ma per conservare solo 3 cifre
significative (quante ne ha il 2° fattore), siamo costretti ad arrotondare a
q
e tuttavia dovremo arrotondare in modo
che le cifre significative siano solo 2 … scrivendo perciò
q
… però il risultato non potrà essere
scritto con più di 2 cifre significative (quante ne ha il divisore)
quindi andrebbe arrotondato a 2500, che
tuttavia, scritto così, di cifre significative pare averne quattro …
… risolviamo l’inghippo scrivendo il
quoziente in notazione esponenziale, come
q ma qui occorre fare in modo che nel risultato
le cifre significative
siano soltanto tre, come nel primo
fattore. Bene: il risultato andrà allora scritto come
ESERCIZIO (risposte
a pag.
72)
2) Considera le coppie x, y di dati seguenti. L’ultima cifra a destra è incerta.
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a) |
b) |
c) |
d) |
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E’ richiesto di scrivere col numero
corretto di cifre I) II)
III)
IV)
LA “PROPAGAZIONE” DEGLI ERRORI, O MEGLIO: DELLE
“INCERTEZZE”
Riportiamo,
per comodità del lettore, alcune nozioni a riguardo, già presenti nel Volume 1.
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Cos’è l’
ERRORE? E’ APPROSSIMATO,
O IL VALORE RICAVATO DA UNA MISURA, E IL VALORE VERO. |
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Cos’è l’
INCERTEZZA? E’ Se sappiamo
che l’errore è (in valore assoluto) Se il valore
approssimato è non sappiamo dove si trovi tale vero valore, ma esso
apparterrà all’intervallo |
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Insistiamo
(sigh!): in parecchi libri di testo viene
sbrigativamente e impropriamente chiamato ERRORE … … ciò che in
realtà dovrebbe essere denominato INCERTEZZA o, al più,
“ERRORE MASSIMO POSSIBILE”. E ciò può essere fonte di una ben giustificata
difficoltà di lettura!!! |
OCCHIO!!!
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Siano due grandezze, e sia
una terza grandezza che derivi da
un’operazione aritmetica su
.
Allora:
q L' incertezza della SOMMA
è la somma delle incertezze da cui sono affetti gli
addendi:
Di solito
questa regola viene enunciata impropriamente così :
L’errore della somma è uguale alla somma
degli errori degli addendi
q La stessa identica regola
vale per la differenza: l' incertezza della DIFFERENZA
è la somma delle incertezze da cui sono affetti i
termini:
q L’incertezza del PRODOTTO DI UN NUMERO COSTANTE
PER UNA GRANDEZZA
è il prodotto del numero fisso per l’incertezza della grandezza:
q L' incertezza
relativa (OCCHIO! RELATIVA, questa volta, non assoluta!) del PRODOTTO
è la somma delle incertezze
relative dei fattori:
Di solito
questa regola viene enunciata impropriamente così :
L'errore relativo del prodotto è la somma
degli errori relativi dei
fattori
q Del tutto
analoga a quella sul prodotto, e come essa basata sulle incertezze relative,
è la regola per il QUOZIENTE :
|
q Per la POTENZA
|
(valida
anche se n è frazionario, ossia con
le radici: tieni presente che, ad es., |
ESERCIZIO (risposte
a pag.
72)
3) Considera le coppie x, y di dati seguenti; per ciascun dato
è specificata l’incertezza da cui è affetto.
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a) |
b) |
c) |
d) |
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Determina le incertezze assoluta e relativa di: I) II)
III)
IV)
V)
VI)
NOTA - In
casi come questi, si fanno i calcoli intermedi con la totalità delle cifre; soltanto alla fine si arrotonda.