13. RISPOSTE AGLI ESERCIZI
RISPOSTE agli esercizi delle pagg. 8-9 (CONCETTI INTRODUTTIVI)
2) a) quant.
discr. b) qual. sconn. c) quant. discr. d) quant. cont. e) quant. discr. f) qual. ord.
g) qual. sconn.
h) quant.
discr., anche se poi è opportuno che i dati vengano ripartiti in “classi” (es.:
meno di 5000 abitanti …)
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5) |
Numero figli |
Freq. ass. |
Freq. rel. |
Freq. perc. |
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0 |
8 |
8/40 = 0,2 |
20 % |
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|
… |
|
|
|
6) Molto+Abbastanza+Poco+Pochissimo =
12+5+5+2=24; 24=80/100 x (x
= n° totale) da cui x = 30
e perciò Moltissimo = 30 24 = 6; Freq. rel. (Moltissimo) = 0,2; Freq.
rel. (Molto) = 12/30 = 0,4; ecc.
7) La somma
delle freq. rel. è sempre 1.
La freq. rel. della modalità rimanente è
perciò 10,35
0,4
0,2=0,05
e corrisponde a una freq. perc. del 5 %.
8) a) F
b) F c) F d) F
e) F
10) a) Intorno
a b) Circa il 31,4 % c) 8,7
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11) |
Ad esempio, per classi di 1 voto: |
Classe di freq. |
Freq. ass. |
… e per classi di |
Classe di freq. |
Freq. ass. |
|
|
|
1 |
|
0 |
||
|
|
… |
… |
… |
… |
||
|
|
||||||
|
12) |
Ad esempio, per classi di 7
giorni: |
Classe di freq. |
Freq. ass. |
Freq. rel. |
Freq. perc. |
|
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|
Da 1 a 7 gg. |
8 |
0,17 |
17% |
||
|
|
… |
… |
… |
… |
||
13) a) Sì
b) Sì c) Sì d) No
e) No (anche se si potrebbe inserire un rarissimo “4 o più”) f) Sì
g) No h) Sì
RISPOSTE agli esercizi delle pagg.
da 28 a 33 (RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE)
1) Ad esempio, arrotondando all’intero,
2) Ad esempio, arrotondando all’intero,
3) Si potrebbe
prevedere una “fetta” unica per tutti gli elementi presenti in percentuale <
1%, o in tracce.
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4) |
|
5) 3,30e23 significa (notazione esponenziale):
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6) |
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|
a) scegliendo Dispers. (XY) |
|
||
|
b) poi “Dispersione con coordinate unite da linee” |
|||
|
c) cliccando su “Etichette dati”, quindi sul quadratino accanto a “Valori (Y)” |
|||
|
7) Si potrebbe, ad esempio, pensare alle
classi: da 45 km/h
compresi a 50 km/h esclusi; da 50 compresi a
55 esclusi; ecc. Per contare il numero di dati di
ciascuna classe, puoi ricorrere ad un uso accorto della
funzione CONTA.SE, come spiegato a pag. 25. 8) In questo
caso, la rappresentazione più “espressiva” è
senz’altro quella del tipo “Istogramma in pila”. |
|
||
9) a) 49
b) 7; 0,14 circa; 14% circa
c) circa il 61% 10) 5;
0,19 (con arrotondamento); 19 %
(circa)
12) b) 1.008.000 circa; c) perché diminuisce la natalità (fortissima
discesa in colonna) ma
simultaneamente la popolazione è in aumento
(principalmente in quanto si vive mediamente più a lungo)
19) Guardando solo l’ideogramma, .
Coi numeri, più precisamente,
20) Onestà e competenza = 42% circa … 21)
18 eccellenti (media non inferiore a 9) …
22) Ad esempio, il
rettangolo più a sinistra ha base 4 e altezza 149,5
RISPOSTE agli
esercizi delle pagg. da 48 a 53 (INDICI DI POSIZIONE)
1) Media leggerissimamente superiore a 6,7
(6,7045…); moda = 7,5; mediana = 6,75
2) Media leggerissimamente superiore a 1,9 ore
(1,903…); mediana = 2; moda = 1,5
3) Cambierebbe la media aritmetica, ma mediana e
classe modale resterebbero inalterate
4) Media leggermente superiore a 11,4 anni;
mediana = 11; moda = 12
5) Media euro (arrotondando ai centesimi); mediana = 7,5; moda = 5
6)
Qui scriveremo i risultati arrotondandoli a 2 cifre decimali (se ne
avevano più di 2).
♪
Se vengono trasformate in
“0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra,
quando
la prima cifra da trasformare in “0” è
0, 1, 2, 3 o 4,
allora
nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫
se invece la prima cifra
da trasformare in “0” è 5, 6, 7, 8 o 9,
allora
nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
a) ; b)
;
c)
7) In generale, no: non coinciderà. Potrebbe
eccezionalmente coincidere in casi particolari:
ad
esempio, se i gruppi hanno ugual numero di elementi, coincide.
Dimostra
questo fatto per un caso particolare: ad esempio, considerando 6 dati .
Se questo
insieme di 6 elementi viene spezzato in 2 gruppi di 3 elementi ciascuno,
oppure in
3 gruppi di 2 elementi ciascuno, la media generale sarà senz’altro uguale alla
media delle medie.
8) Non è possibile rispondere basandosi solo su
questi dati!
Bisognerebbe infatti sapere quanti sono gli abitanti, o più precisamente
gli aventi diritto al voto,
in
ciascuna delle due regioni, o almeno qual è il rapporto fra il loro numero
nella regione A e nella regione B.
9) a)
b) La media per classi di 7 gg. non differisce di molto dalla media “normale”:
si trova infatti
10) a) spesa minima 7,05 euro, spesa massima 254,50 euro b) spesa media individuale
c) La media “esatta” e quella
“per classi” di 10 euro differiscono di pochissimo:
facendo la media per classi si trova infatti esattamente 50,50 euro
11) 12) Stessa identica media! (25’28”)
16) Beh, la media esatta, no, ma la media per
“classi”, prendendo per ciascuna classe il suo valore centrale, sì.
E, come abbiamo precedentemente visto su
un paio di esempi e come si potrebbe verificare,
la media così calcolata è una buona
approssimazione della vera media.
Si ottiene nel nostro caso una media
prossima a 9,78 euro.
17) Sì, perché conoscendo la media e il numero
dei dati è possibile risalire alla somma dei dati.
La somma di tutti i punteggi della II A
è e quella dei punteggi di II B è
.
Quindi la
somma dei punteggi riunendo insieme i 2 gruppi è e la media gen. è
18) Il problema sta nella genericità di quel “6 O
PIÙ”. Supponendo che il “6 o più” sia un 6,
si ottiene nel 1961 una media di 3,48
componenti per famiglia; questa è dunque una stima per difetto.
Per il numero
approssimativo totale dei residenti basta moltiplicare il numero medio
di componenti per
famiglia per il numero delle famiglie, disponibile sull’ultima riga
(che dà il numero
di migliaia di famiglie relativo a
quell’anno).
Per il 2001, data
la bassa percentuale di famiglie con “6 o più” componenti,
la media calcolata sostituendo
quel “6 o più” con 6 è più attendibile rispetto all’analoga per il 1961.
Si ottiene, per il
2001, media componenti per famiglia e numero totale
residenti vicino a 56.500.000.
19) 7,44 20)
Poco più di 13 euro
21) Voto finale da 0 a 10: ad esempio,
Per Serena e
Martina si ottengono, arrotondando sempre a due cifre dopo la virgola, le medie
seguenti:
;
.
Certo, l’insegnante dovrà poi procedere a un arrotondamento ulteriore …
Voto
finale dal 2 al 10: si tratta
a) di
restringere la fascia da 0 a 10, in modo che al suo posto si abbia una fascia
da 0 a 8,
b) poi di traslare verso l’alto di 2
unità: ,
dove si determina prima v col metodo
precedente.
22) AH
rappresenta la media geometrica dei due segmenti BH e HC, AM la media
aritmetica.
23) Perché nel triangolo rettangolo AHM il cateto
AH è sempre < dell’ipotenusa AM. Si avrebbe l’uguaglianza
se i due segmenti fossero fra loro
sovrapposti, il che avverrebbe nel caso ABC fosse isoscele.
24) Sommando i
tempi si ottiene 11h 29’ 20”, e sommando le distanze 396,5 km. La velocità
media
sull’intero tragitto è perciò
26)
27) . Per classi (da 45 km/h a 49, da 50 a 54, …):
28) 29)
30) Vedrai che uscirà come media un valore molto
prossimo a 3,5.
31) (media geometrica delle dimensioni).
32) La risposta esatta è ,
ossia la media armonica
.
E’ presumibile che il VIP non sia
caduto nel tranello di utilizzare la media aritmetica
perché conosceva già la risposta a
questo quesito o comunque a quesiti simili; o anche perché,
con la sua intelligenza “pratica”,
aveva capito immediatamente che la domanda era stata posta per metterlo
in difficoltà, e quindi la risposta più
“banale” (media aritmetica, 200 km/h) non poteva essere quella giusta.
In ogni caso è stato bravo, e
probabilmente non ha sfruttato direttamente la formula per la media armonica,
ma ha ragionato in questo modo, dando
allo spazio totale un valore “comodo per i calcoli”:
supponiamo che il percorso complessivo
sia di 600 km;
per fare i primi 300 ci si mette 3 ore,
per fare gli altri 300 ci si impiega 1 ora.
4 ore in totale, 600 km, da cui 600:4 =
150 kilometri all’ora.
33) La media quadratica dei cateti. Infatti, per
qualunque coppia di cateti, è (Teorema di Pitagora)
.
Quindi è costante, per ogni coppia di
cateti a, b, anche la quantità (media quadr.)
34)
E’ la media armonica delle 3 velocità.
Osserviamo che la risposta non dipende dalla lunghezza del percorso:
se il circuito fosse stato di 5 km, o
di 700 metri, avremmo ottenuto il medesimo risultato.
35) (media aritmetica delle tre velocità)
Osserviamo che la risposta non dipende
dal tempo, nel senso che sostituendo a “5 minuti”
un altro intervallo di tempo qualsiasi,
la velocità media rimarrebbe sempre la stessa.
36)
37)
38)
39)
40) Al termine
del terzo anno il posseggo il 99,498 % di ciò che possedevo inizialmente:
ci ho
quindi perso un pochino (leggermente più dello 0,5 %)
42) Il tasso di
interesse medio annuo è del 22,4745% circa (approssimazione per leggerissimo
eccesso).
In sé questo 22,4745 (approssimato) non
rappresenta una media di alcun tipo, ma si può dire che 122,4745
(ammontare del debito dopo 1 anno, se
la cifra iniziale era 100) rappresenta la media geometrica fra 100 e 150
|
43) |
|
La perdita di valore media annua è stata circa del 13% |
44)
|
45a) Traccia innanzitutto CA, CB; perché inscritto in una
semicirconferenza; per Euclide II°, o coi triangoli
simili, si ha allora Poi:
|
|
RISPOSTE agli esercizi delle pagg.
54-55 (INDICI DI DISPERSIONE)
1)
a) I) campo di variabilità =
6 II)
scarto ass. medio = 1,6
III) deviaz. st. = 2 IV)
coeff. di variaz. = 0,5
b) I)
campo di var. = 1 II) scarto ass. medio = 0,32 III)
deviaz. st. = 0,4 IV) coeff. di variaz. = 1/3
c) I)
c. var. = 3/4 II) scarto ass.
medio = 5/18 III) dev. st. = IV)
coeff. var.
0,5345
3) Senza dubbio
è preferibile “scarto assoluto medio” (= la media degli scarti, presi in valore
assoluto).
“Scarto
medio”, per la smania di abbreviare evitando un aggettivo, in realtà pretende
che il lettore
questo
aggettivo lo tenga presente molto bene, perché la media degli scarti “e-basta”
sarebbe 0!
“Scarto
medio assoluto”, se presa alla lettera, vorrebbe dire che
calcolo la
media degli scarti (ottenendo 0), poi di questa media faccio il valore
assoluto: risultato finale 0.
4)
5)
Osservazione: per lo scarto quadratico medio è comodissima la formula alternativa!!!
[questi
indici sono stati calcolati “per classi”, ponendo uguale a 21 il valore per la
classe più bassa
e a 60 quello per la più alta, mentre per le altre classi si è preso,
come di consueto, il valore centrale.
La
gestione delle classi “estreme” è piuttosto problematica, nel caso in esame … ]
8) Ad esempio
una catena dimostrativa potrebbe essere la seguente:
RISPOSTE agli esercizi di pag. 63
(ERRORI DI MISURA)
1) a) V
b) F (la media degli scarti è sempre 0; “scarto medio” significa in
realtà “scarto assoluto medio”, ossia
la media dei valori assoluti degli scarti, che sarà a meno che i dati siano tutti uguali fra loro)
c) F
d) F (probabilmente, non
“certamente”) e) V f) V
g) F h) F: dev.st.pop() i) F: quadruplicare
2) ; l’errore standard della media
si può approssimare con
.
3) Del
4) a) .
Quindi scriveremo
.
Il
significato della scrittura è che circa il 68% delle misure dovrebbe essere
compreso nell’intervallo.
Se vai a
contare il numero di valori tra e
ne troverai 126;
ora,
126/186 = 0,6774… in ottimo accordo con quanto detto.
b) vale circa 0,0012. Allora un intervallo di
confidenza al 95% per il valore della grandezza è
.
Ciò significa che tale intervallo ha una probabilità del 95% circa
di contenere il valore sconosciuto
della grandezza in esame.
5) Qui al punto b) si può rispondere come segue:
l’intervallo di confidenza al 95% così
determinato è tale che c’è il 95% circa di probabilità
che
esso contenga quel valore che si otterrebbe facendo la media delle altezze
(risp.: dei pesi)
su tutta
la popolazione locale dei ragazzi della stessa età.
6) Quando le misure sono poche, si utilizza
preferibilmente la semidispersione .
In questo caso,
mentre la media delle misure è 86,2; si
scriverà il valore della grandezza come
7) Scriveremo ,
utilizzando come incertezza la semidispersione d dei dati.
Così facendo, si ottiene con un piccolo arrotondamento per
in modo da far sì (vedi paragrafo
successivo) che l’ultima cifra a destra per la media
abbia lo stesso posto decimale dell’ultima
cifra a destra per l’incertezza.
La scrittura dà un’informazione di facile
leggibilità sulla media delle misure rilevate
e sull’intervallo nel quale
approssimativamente si sono distribuite,
ma osserviamo che comunque IN GENERE NON
TUTTE le misure rientrano nell’intervallo così determinato.
In questo esempio, la misura più piccola è
esterna all’intervallo; nel precedente, lo era la misura più grande.
8) Così com’è, la scrittura non può essere
considerata scientificamente corretta.
Non viene infatti specificato di che tipo
è l’incertezza.
9) Nemmeno questa scrittura è scientificamente
corretta: manca l’unità di misura.
|
10) |
Ma
allora sono precise esattamente allo stesso modo! |
11) .
L’incertezza relativa percentuale è del 2,5 %.
RISPOSTE
agli esercizi delle pagg. 66-67 (ARROTONDAMENTI E CIFRE SIGNIFICATIVE)
|
1) |
a) NO. |
b) NO. |
c) NO. |
d) SI’ |
|
|
e) NO. |
f) NO. |
g) NO. |
h) SI’ |
|
2) |
a) |
b) |
c) |
d) |
|
|
|
|
|
|
3) a) I) assoluta: relativa:
II)
assoluta: relativa:
III) relativa: assoluta:
IV) relativa: assoluta:
V)
rel.: ass.:
VI) rel.: ass.:
b) I) assoluta: (NOTA 1);
relativa:
(NOTA 2)
|
NOTA 1 Abbiamo detto che nelle scienze sperimentali si
solito si osserva la prassi seguente: L’incertezza O AL MASSIMO DUE CIFRE
SIGNIFICATIVE SE Avevamo poi specificato che non tutti sono concordi
in questo. Alcuni accettano nell’incertezza fino a due cifre
significative; altri suggeriscono di usare due cifre significative se la prima cifra è bassa
(c’è chi dice 1 o 2, c’è chi dice 1, 2, 3 o 4), altrimenti una. In effetti, se la prima cifra è piccola, eliminare
con l’arrotondamento la seconda porterebbe ad una perdita di precisione ritenuta eccessiva
anche per un’incertezza. Vediamo di spiegarci con un esempio. Se arrotondo Di poco, perché è cambiato di 0,4; e Se invece arrotondo Ecco perché se la prima cifra è piccola (noi abbiamo
scelto di considerare “piccola” solo la cifra 1, altri fanno rientrare nelle cifre “basse” anche il
2, altri ancora si spingono fino al 3 e al 4) è ragionevole mantenere DUE cifre significative:
|
|
|
|
NOTA 2 E’ vero che la prima cifra significativa
dell’incertezza relativa comincia qui con 1, e che in questo caso avevamo scritto di tenere due
cifre significative anziché una, ma di fronte al valore perché con l’arrotondamento a 0,02 alteriamo di ben
poco, in percentuale, il numero 0,01851… e in compenso otteniamo una leggibilità decisamente
maggiore. In generale si incoraggia a usare il “buon senso” in
queste scelte se arrotondare o no, badando, ♪
da una parte,
che il valore arrotondato non sia molto diverso, in percentuale, rispetto al
valore originario, ♫ dall’altra alla compattezza e facile leggibilità
dell’espressione e tenendo sempre presente il contesto: q In che modo sono stati rilevati i dati sperimentali?
q Di che tipo è l’incertezza? q Che finalità ha il nostro studio, o a chi è rivolta
la nostra esposizione? |
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II) assoluta: III) relativa: IV) relativa: V) rel.: VI) relativa: c) I) assoluta: II) assoluta: III) relativa: IV) relativa: V) rel.: VI) rel.: d) I) assoluta: II) assoluta: III) relativa: IV) relativa: V) relativa: VI) rel.: |
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How to Lie with Statistics è un libretto di divulgazione che ha avuto uno
straordinario successo di vendite. Scritto da
Darrell Huff nel lontano 1954, conserva
pienamente la sua attualità. Aiutandosi con garbate
illustrazioni, passa in rassegna i modi attraverso i
quali la pubblicità e la politica manipolano e presentano in
modo parziale e distorto le statistiche per spingere il
consumatore o l’elettore a conclusioni sbagliate. |
