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INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA
1. SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO: UN PRIMO APPROCCIO |
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NOTA. - In questo capitolo utilizzeremo il PUNTO, anziché la virgola, come separatore per i decimali
Il vettore ha modulo 5; l’ampiezza dell’angolo Quanto misurerà il modulo di
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Problemi di questo tipo si presentano di frequente in Fisica: fra i tantissimi esempi, possiamo pensare allo studio del moto su di un piano inclinato sotto l’azione della forza di gravità.
E’ proprio la situazione a cui si ispira la figura. |
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Come è ovvio, la risposta dipende strettamente dal
fatto che l’angolo Se, poniamo, la risposta cambierebbe: (osserviamo comunque, per inciso, che nel passaggio
da il valore del
modulo di
chiamiamo “seno” di un angolo il “seno” di un angolo di un triangolo rettangolo che ha un angolo acuto
uguale ad per ottenere la misura del cateto opposto !!!
Prendi la macchinetta calcolatrice e digita 40 sul display. |
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Premi ora il tasto
Sul display comparirà il numero cercato, che si scrive in questo caso, si tratterà di Esso è i numeri così ottenuti hanno infinite cifre decimali, e la macchinetta li arrotonda).
Se ora moltiplichi il modulo di otterrai
Fai poi la stessa cosa supponendo che l’angolo Otterrai se si desidera ottenere il modulo di Perciò il modulo di
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IL SENO DI
UN ANGOLO ACUTO
Il seno di un angolo acuto fra il cateto opposto e l’ipotenusa, in un triangolo rettangolo che abbia
Poiché in un triangolo rettangolo ogni cateto è sempre minore dell’ipotenusa, il seno di un angolo acuto sarà sempre <1.
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Latino
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Osserviamo che se noi teniamo fissa l’ampiezza dell’angolo
ma restringiamo o allarghiamo il triangolo rettangolo, il rapporto cateto opposto/ipotenusa, ossia il seno, non cambia, perché se ad esempio il cateto si riduce alla metà, la stessa cosa avviene anche dell’ipotenusa, per cui il loro quoziente rimane inalterato:
Per questo la definizione è “ben posta”: la quantità e non dal particolare triangolo rettangolo considerato.
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Si dice che IL “SENO” È UNA “FUNZIONE ANGOLARE”. “Funzione” indica una quantità che dipende in modo univoco da un’altra. Nel nostro caso, il valore del seno dipende in modo univoco dall’ampiezza dell’angolo.
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NELLA FUNZIONE “SENO” · al raddoppiare dell’angolo, il seno NON raddoppia; · se l’angolo diventa triplo, il seno NON diventa triplo; · se l’angolo dimezza, il seno NON dimezza … eccetera. |
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OCCHIO a non fare confusione. La scrittura non significa “sen”
moltiplicato “ Come non avrebbe nessun senso scrivere “sen” e basta. La scrittura significa
“il seno di
a quel numero che ne esprime il “seno”, e del quale ben conosciamo il significato geometrico.
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Vediamo se hai capito. Copri con la mano le risposte, che sono riportate immediatamente sotto.
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1) Se nel triangolo rettangolo in figura io conosco
e dispongo di una macchinetta calcolatrice, potrò determinare tutti gli altri lati?
RISPOSTE |
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2) Se nel triangolo rettangolo in figura io conosco
e dispongo di una macchinetta calcolatrice, potrò determinare tutti i lati? |
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1) Sì. 2) Sì.
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Se nel triangolo rettangolo in figura io conosco
e dispongo di una macchinetta calcolatrice, potrò determinare le ampiezze degli angoli acuti?
Certamente! |
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Prima, con Pitagora, da cui potrò risalire all’ampiezza
di Questa in genere nelle macchinette è una “seconda funzione”: per attivarla si premerà prima il tasto 2ndF. Si trova 53.130102 ovvero una misura in: gradi, decimi di grado, centesimi di grado … Volendo trasformare in gradi, primi ( = 60-esimi di grado) e secondi ( = 60-esimi di primo), come si può fare? Si prende la parte dopo il punto decimale ossia 0.130102 e ci si chiede innanzitutto a quanti primi, ossia a quanti 60-esimi di grado, corrisponde:
Ma a quanti secondi corrispondono ora
A questo punto possiamo però accontentarci, e approssimare
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Un’ultima puntualizzazione. Il tasto, sulla
macchinetta, che permette di risalire dall’angolo al seno, è ma quel “ non significa “fare il reciproco”, ma “applicare la funzione inversa, quella che fa tornare indietro”.
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E veniamo ora alla funzione “sorella” del seno: il coseno, e a una “cugina”: la tangente.
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IL COSENO
DI UN ANGOLO ACUTO
Il coseno di un angolo acuto fra il cateto adiacente e l’ipotenusa, in un triangolo rettangolo che abbia
Poiché in un triangolo rettangolo ogni cateto è sempre minore dell’ipotenusa, il coseno di un angolo acuto sarà sempre <1.
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Riprendiamo un attimo il problema 1). Si trattava di determinare i lati del triangolo in figura sapendo che
Bene: per calcolare RP, si potrebbe dunque utilizzare il coseno e scrivere
dove il valore del coseno è stato ricavato tramite una macchinetta calcolatrice, digitando 24 poi pigiando
il tasto |
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La tangente goniometrica di un angolo acuto al rapporto, al quoziente, fra il cateto opposto e il cateto adiacente, in un triangolo rettangolo che abbia
La tangente goniometrica (di solito si dice, per abbreviare: “la tangente”) di un angolo acuto può assumere valori qualsiasi, anche molto grandi. |
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La tangente è legata al
seno e al coseno da una semplice relazione: è Infatti
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Riprendiamo il problema 2). I dati erano:
Il tasto sulla calcolatrice
per ottenere la tangente porta in genere la scritta In alternativa: |
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1) La tabella seguente riporta i valori di seno, coseno e tangente di alcuni angoli particolari (valori arrotondati
a 2 cifre dopo la virgola). Utilizzando la tabella (che ti eviterà di dover metter mano alla calcolatrice)
determina i valori approssimati dei segmenti che nelle varie figure sono indicati col “punto interrogativo”.
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10° |
20° |
30° |
40° |
50° |
60° |
70° |
80° |
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0.17 |
0.34 |
0.50 |
0.64 |
0.77 |
0.87 |
0.94 |
0.98 |
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0.98 |
0.94 |
0.87 |
0.77 |
0.64 |
0.50 |
0.34 |
0.17 |
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0.18 |
0.36 |
0.58 |
0.84 |
1.19 |
1.73 |
2.75 |
5.67 |
Prima di svolgere gli esercizi (le cui soluzioni sono in fondo alla pagina) osserva la tabella:
♪ potrai notare che il seno di un angolo coincide col coseno dell’angolo complementare
(due angoli sono fra loro “complementari” quando sono del tipo ossia
quando la loro somma è di 90°: ad esempio, un angolo di 20° e uno di 70° sono complementari).
♫ quando l’angolo raddoppia, NON è vero che seno, coseno, tangente raddoppino
(il loro valore è piuttosto vicino al doppio solo quando l’angolo è piccolo,
ma conservando un numero maggiore di cifre decimali, si potrebbe osservare che nemmeno
per gli angoli piccoli al raddoppiare dell’angolo si ha un valore della funzione esattamente doppio).
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a) |
b) |
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c) |
d) |
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2) Trasforma in gradi, primi e secondi. Esempio:
a)
3) Trasforma in gradi, decimi di grado, centesimi di grado, ecc. Esempio:
a)
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4) Con la calcolatrice tascabile, stabilisci quanto misurano gli angoli acuti dei triangoli rettangoli che corrispondono alle tre “terne pitagoriche” a) 5, 12, 13; b) 7, 24, 25; c) 9, 40, 41. E’ richiesto di approssimare l’angolo ai gradi e ai PRIMI.
RISPOSTE
NOTA - Se un calcolo darà come risultato un numero con più di 2 cifre dopo la virgola, arrotonderemo ai centesimi, seguendo
♪ Se vengono trasformate in “0” tutte le cifre a partire da una certa cifra e verso destra, quando la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4, allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5, 6, 7, 8 o 9, allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
Esempi: l’arrotondamento di 2.5763 ai centesimi è 2.58; quello di 0.872 sempre ai centesimi è 0.87.
1) a)
b)
c)
d)
NOTA a due cifre decimali anche i seni, i coseni e le tangenti; ma in generale, in calcoli di questo genere, è sempre buona norma cercare di coinvolgere valori “base”, e non valori già calcolati e quindi affetti da approssimazione.
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2) a)
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4) a) |
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