2. MISURA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA IN RADIANTI

Si dice che un arco di circonferenza è misurato in radianti

quando lo si misura assumendo come unità di misura il raggio della circonferenza stessa.

Vale a dire: per misurare un arco di circonferenza in radianti, si immagina di rettificare questo arco,

poi si misura il segmento così ottenuto, prendendo come unità di misura il raggio.

Ad esempio, la lunghezza di un certo arco in radianti è 2.5 ( = un certo arco misura 2.5 radianti)

se rettificando quell’arco si ottiene un segmento lungo esattamente 2.5 volte il raggio (vedi figura sottostante).

Un arco misura quindi UN radiante quando la lunghezza di quell’arco, supposto rettificato,

è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza.

In questa figura, l’arco

misura 2.5 radianti:

infatti è esattamente

due volte e mezza il raggio.

NOTA

“Misurare” un segmento s rispetto ad un altro segmento u (unità di misura)

vuol dire stabilire “quante volte” il segmento u che fa da unità di misura è contenuto in s:

e a tale scopo, qualora si conoscano le misure di s e di u rispetto ad un’altra unità di misura u’, basterà fare

il rapporto (=quoziente) fra tali due misure per conoscere la misura di s rispetto a u (Teorema del Rapporto).

Per questo, misurare un arco in radianti equivale a calcolare il quoziente fra la lunghezza dell’arco

e la lunghezza del raggio della circonferenza, calcolate entrambe rispetto a una stessa unità di misura.

In pratica, il Teorema del Rapporto può essere illustrato con l’esempio seguente.

Supponiamo che un pensionato sia abituato a utilizzare il suo bastone da passeggio per calcolare le lunghezze,

e abbia constatato che la misura del campo da bocce, quando l’unità di misura è il bastone, vale 8.5

(perché “il bastone ci sta esattamente 8 volte e mezzo nel campo da bocce”).

Bene! Allora quel pensionato, qualora andasse a misurare sia il campo da bocce che il bastone in metri,

e facesse poi la divisione fra le due misure in metri ottenute, troverebbe come quoziente proprio 8.5.

Se il raggio di una data circonferenza è r, l’intera circonferenza misura :

cioè, moltiplicato il raggio ( = circa 6.28 volte il raggio).

Perciò, se come unità di misura si sceglie proprio il raggio, la lunghezza dell’intera circonf. risulta uguale a .

Di conseguenza:

q la misura in radianti dell’intera circonferenza è (circa 6.28)

q la misura in radianti di una semicirconferenza è (circa 3.14)

q la misura in radianti di un quarto di circonferenza è (circa 1.57)

UN ARCO SI PUO’ MISURARE SIA IN RADIANTI CHE IN GRADI

E UN ANGOLO SI PUO’ MISURARE SIA IN GRADI CHE IN RADIANTI

In una data circonf. la lunghezza di un arco è “individuata” dall’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente:

ad esempio, se io considero una data circonferenza e osservo che l’angolo al centro corrispondente ad un certo

arco è di 30°, volendo comunicare ad una certa persona la misura di , potrò (anziché usare i radianti)

dire che “ misura 30° ”, in quanto, se quella persona traccia con vertice nel centro della circonferenza

un angolo di 30°, questo staccherà sulla circonferenza o l’arco o, comunque, un arco uguale ad .

Insomma, UN ARCO DI CIRCONFERENZA SI PUO’ MISURARE SIA IN RADIANTI CHE IN GRADI.

Per la stessa ragione, UN ANGOLO SI PUO’ MISURARE SIA IN GRADI CHE IN RADIANTI:

evidentemente, per “misura in radianti di un angolo ” si intenderà

la misura in radianti dell’arco che stacca su di una qualsiasi circonferenza avente il centro nel vertice di .

E’ intuitivo e, volendo, dimostrabile

che la misura ottenuta è del tutto indipendente

dal raggio della circonferenza che viene tracciata,

perché ad esempio raddoppiando il raggio

raddoppia anche la lunghezza dell’arco

e allora il rapporto arco/raggio rimane costante.

Vediamo ora le misure in radianti di alcuni angoli particolari. Abbiamo già osservato le corrispondenze

Gradi
Radianti

Possiamo ora proseguire, ricavando ad esempio

NOTA: il simbolo “ = ” non è qui del tutto rigoroso; ci concediamo una licenza!

Non si tratta, infatti, di una vera uguaglianza, ma piuttosto

di una corrispondenza fra due misure che sono numericamente diverse

perché completamente diverse sono le unità di misura utilizzate:

il grado (ampiezza) a 1° membro, e il radiante (lunghezza) a 2° membro.

Negli esercizi (e in talune applicazioni) compaiono con particolare frequenza gli angoli multipli di 30° e di 45°.

Ecco la tabella dei corrispondenti valori in radianti:

Gradi	Rad.	Gradi	Rad.	Gradi	Rad.	Gradi	Rad.	Gradi	Rad.	Gli angoli che superano i 360° sono quelli che “vanno oltre il giro completo”. Si fa un giro (360°), poi si prosegue. Più avanti parleremo pure di angoli negativi.

D’ora in poi, data la stretta corrispondenza fra “angolo” (pensato come “angolo al centro di una circonferenza”)

e “arco”, parleremo indifferentemente di “angolo” e di “arco”,

trattando questi due concetti come “equivalenti” ed “intercambiabili”.

Di norma, quando si ragiona in “radianti” si preferisce dire “arco”, quando si usano i “gradi”, “angolo”.

Abbiamo visto sopra che l’angolo di 1 grado misura, in radianti, ossia circa 0.01745.

Quanto misurerà, in gradi, l’arco di 1 radiante?

Possiamo rispondere mediante la proporzione

da cui

La misura trovata, poco più di 57°,

è del tutto “convincente”

dato che l’arco di 1 radiante

è poi l’arco il quale, se rettificato, darebbe luogo

a un segmento uguale al raggio

(vedi figura qui a fianco,

nella quale è appunto

E COME SI PASSA, IN GENERALE, DAI GRADI AI RADIANTI E VICEVERSA?

DAI GRADI AI RADIANTI

Si prende dunque la misura, es. , la si trasforma in

“gradi virgola …”:

poi si divide per 180 e si moltiplica per :

La sigla rad viene di norma omessa.

DAI RADIANTI AI GRADI

Si prende la misura in radianti, es.

la si divide per e si moltiplica per 180:

Naturalmente, volendo, questi “gradi virgola …”

possono poi essere trasformati in gradi, primi e secondi.