3. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Ora andremo a RIDEFINIRE, da un punto di vista ben più generale rispetto al paragrafo 1), alcune quantità

il cui valore dipende dall’ampiezza di un angolo (o, in modo equivalente, dalla misura di un arco)

e che, per questo motivo, vengono dette “funzioni angolari”:

esse sono il “SENO”, il “COSENO” e la “TANGENTE” dell’angolo (o arco) considerato.

Lo studio delle funzioni angolari viene chiamato “GONIOMETRIA”

(in greco, gonòs = angolo e metròn = misura) oppure (più frequentemente) “TRIGONOMETRIA”,

termine che è praticamente un sinonimo di “goniometria” ma mette maggiormente in rilievo

il fatto che, molto sovente, interessa applicare le formule studiate ai tre angoli interni di un triangolo.

Le definizioni che daremo si riferiranno ad angoli qualsiasi, anche maggiori o uguali a 90°,

anche maggiori di 360°, anche nulli o negativi, e tuttavia saranno perfettamente EQUIVALENTI,

per gli angoli acuti, a quelle con cui abbiamo in precedenza avviato il discorso.

L’equivalenza fra definizioni “vecchie” e definizioni “nuove” verrà rigorosamente dimostrata

in un paragrafo dedicato ai “teoremi sui triangoli rettangoli”.

Lo strumento concettuale che è posto alla base della trigonometria è la “circonferenza goniometrica”.

Cos’è, dunque, la “circonferenza goniometrica”?

E’ una circonferenza

q avente il centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani

q e (importantissimo!) raggio uguale a 1

(cioè, raggio uguale all’unità di misura del sistema di riferimento).

S’intende che sulla circonferenza goniometrica

gli angoli vadano sempre riportati

q con vertice nel centro ( = nell’origine)

q a partire dal semiasse delle ascisse positive

(che sarà dunque sempre il “primo lato” dell’angolo)

q e in senso ANTIORARIO.

Il “primo lato” dell’angolo, ossia il semiasse delle ascisse positive,

viene anche detto “raggio origine” dell’angolo,

mentre il secondo lato (semiretta OP nella figura) è detto “raggio vettore”.

Agli angoli riportati in senso ORARIO si assegna MISURA NEGATIVA:

ad esempio,

l’angolo qui a fianco raffigurato misurerà

(oppure, in radianti, ).

Nella circonferenza goniometrica, consideriamo un certo angolo

(che di norma sarà compreso fra 0° e 360°, ma potrebbe pure essere negativo, o maggiore di 360°):

cosa intendiamo per “seno di ( )” e per “coseno di ( )”?

Andiamo a considerare il punto P in cui il raggio vettore di interseca la circonferenza goniometrica:

♪ il SENO di è, per definizione, l’ORDINATA di P,

♫ mentre il COSENO di è, per definizione, l’ASCISSA di P.

		= ordinata di P = misura (con segno) di HP = ascissa di P = misura (con segno) di OH La circonferenza goniometrica ha, come abbiamo detto, centro nell’origine e raggio 1; quindi i suoi punti hanno · ascissa che può andare da un minimo di a un massimo di ; · ordinata che può andare, anch’essa, da un min. di a un max di . Pertanto il seno e il coseno di un angolo sono sempre compresi fra e
Dalla figura si trae (Teor. di Pitagora) la RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA: qualunque sia l’angolo (anche, eventualmente, con , o ), è sempre NOTA: sono scritture abbreviate che significano:
	Nel 1° quadrante , ossia
			… e quando cresce da 0° a 90°, cresce (da 0 a 1) decresce (da 1 a 0)
	Nel 2° quadrante , ossia
			… e quando cresce da 90° a 180°, decresce (da 1 a 0) decresce (da 0 a −1)
	Nel 3° quadrante , ossia
			… e quando cresce da 180° a 270°, decresce (da 0 a −1) cresce (da −1 a 0)
	Nel 4° quadrante , ossia
			… e quando cresce da 270° a 360°, cresce (da −1 a 0) cresce (da 0 a 1)
			Quando raggiunge e poi supera i 360°, i valori di e di “ripartono come se si ripartisse da 0° ”; cioè, le funzioni “seno” e “coseno” sono “periodiche di periodo 360° ”. Ne riparleremo.

Clicca QUI per una figura “dinamica” (GeoGebra) sulla variazione del seno e del coseno al variare dell’arco