5.  TANGENTE DI UN ANGOLO NELLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

 

Nella circonferenza goniometrica, consideriamo il punto A che sta “all’estrema destra” e ha coordinate (1,0).

Per A tracciamo la retta “verticale”, ossia quella parallela all’asse y,

e indichiamo con T il punto di intersezione fra tale retta e il raggio vettore di un dato angolo

(o, eventualmente, il prolungamento del raggio vettore dalla parte dell’origine).

 

Si dice “tangente di  ” l’ordinata del punto T, ossia la misura (con segno) del segmento AT in figura.

 

	= ordinata di T = misura (con segno) di AT       Clicca QUI per una bella figura dinamica (software GeoGebra) che ti permetterà di osservare la variazione della tangente goniometrica al variare dell’angolo.
		Nel  1° quadrante , ossia   … e quando  si avvicina a 90°, mantenendosi però minore di 90°,  diventa altissima, “tende a  ”.   Ad esempio, si ha
Il raggio vettore, ossia il secondo lato dell’angolo, in questo caso coincide col semiasse delle ordinate positive. Ma allora il punto T “non si trova”, perché il raggio vettore e la retta tratteggiata sono parallele e quindi non si incontrano.		Nel  2° quadrante , ossia   Il raggio vettore è una semiretta immersa nel 2° quadrante, ma la definizione di tangente goniometrica prevede che si debba sempre considerare l’intersezione fra la retta verticale per A e il raggio vettore o, eventualmente (come in questo caso), il suo prolungamento.   Quando  si avvicina a 90°, mantenendosi però maggiore di 90° (ossia: decrescendo),  diventa altissima in valore assoluto, ma negativa in segno: si dice che “tende a  ”   Ad es., si ha

 

 

		Nel  3° quadrante , ossia
		Nel  4° quadrante , ossia

 

Quando l’angolo  raggiunge e poi supera i 360°, i valori della tangente “ripartono come se si ripartisse da 0° ”.

Ma in fondo vediamo che questo “ricominciare da capo” si ha già quando l’angolo raggiunge e poi supera 180°!

Insomma, la funzione “tangente” è “periodica di periodo 180°”; di questo torneremo a parlare più avanti.

 

	La figura qui a fianco mostra , , . I due triangoli OAT, OHP sono simili (sono entrambi rettangoli,  hanno l’angolo  in comune  e i due angoli acuti di vertici P e T uguali  per differenza rispetto a 180°).   Perciò vale la proporzione	Due triangoli con gli angoli rispettivamente uguali sono detti “simili”, e hanno anche i lati in proporzione. Breve spiegazione due pagine più avanti.
	la quale si può riscrivere come ossia .   Questa uguaglianza prende il nome di  RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA.

 

Possiamo a questo punto osservare che la 2^a relazione fondamentale della trigonometria è coerente col fatto che

 

q     la tangente vale 0 per tutti e soli quegli angoli il cui seno è  0, che sono poi:  

      e, andando fuori dai confini del 1° giro,  ;

      più in generale, dunque: per tutti gli angoli che si possono scrivere sotto la forma

      , essendo k un intero relativo (  )

 

q     e la tangente non esiste (“va all’infinito”) per tutti e soli quegli angoli il cui coseno è  0 cioè

      e, andando fuori dai confini del 1° giro,

      più in generale, dunque: per tutti gli angoli che si possono scrivere sotto la forma

      , essendo k un intero relativo (  )

 

IL TENDERE A INFINITO. Dire, ad esempio, che la tangente “va all’infinito a 90°”, significa affermare che

quando l’angolo si fa molto vicino a 90°, la rispettiva tangente diventa grandissima in valore assoluto:

 

q     per un angolo di pochissimo inferiore a 90°, ossia quando l’angolo tende a 90° “per difetto”

      (1° quadrante), la tangente è grandissima in valore assoluto e positiva (“tende a  ”)

 

q     mentre per un angolo di pochissimo superiore a 90°, ossia quando l’angolo tende a 90° “per eccesso”

      (2° quadrante), la tangente è grandissima in valore assoluto e negativa (“tende a  ”).