Trigonometria

6. PERIODICITA’ DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Abbiamo già osservato che i valori delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente

“si ripetono dopo un giro completo”. Insomma: sulla circonferenza goniometrica, un angolo di

“vale come un angolo di , o come un angolo di ”

dal punto di vista dei valori delle tre funzioni goniometriche.

Da 30° si toglie,

ruotando in senso ORARIO,

un giro completo

(cioè, tutti i 30° poi altri 330°):

l’effetto è di ripartire

dal semiasse delle ascisse positive

ruotando di 330° in senso ORARIO

a) b)

Si prosegue, oltre l’angolo di 30°,

di un altro giro in senso ANTIORARIO

Più in generale, prendendo un angolo , e aumentandolo, o anche diminuendolo, di un giro completo (360°)

o di un numero intero di giri completi ( = un multiplo di 360°), le tre funzioni goniometriche restano inalterate.

Per la tangente, addirittura, basta che l’angolo subisca un aumento, o una diminuzione, anche solo di

“mezzo giro” (180°) o di un multiplo di mezzo giro ( = un multiplo di 180°), perché tale funzione resti invariata.

La figura qui a fianco, ad esempio,

mostra che la tangente non cambia

se l’angolo subisce

un aumento di 180°.

Questo ripetersi del valore di e , quando aumenta o diminuisce di 360° o di un multiplo di 360°,

e questo ripetersi del valore di , quando aumenta o diminuisce di 180° o di un multiplo di 180°,

viene chiamato la “periodicità”. Si dice che

q le funzioni “seno” e “coseno” sono periodiche di periodo 360°,

q la funzione “tangente” è periodica di periodo 180°.

7. POLIGONI SIMILI (CENNI)

Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono “simili” se sono uno l’ingrandimento dell’altro.

Se ti sforzi di disegnare due poligoni, ad esempio due quadrilateri,

in modo che uno di essi appaia come l’ingrandimento dell’altro,

ti renderai conto che dovrai innanzitutto disegnarli con gli angoli rispettivamente uguali; … ma ciò

non sarà sufficiente: ci vorrà qualcosa in più, e precisamente dovrai fare in modo che i lati siano in proporzione.

I due poligoni della figura sottostante

hanno gli angoli rispettivamente uguali.

Eppure, evidentemente,

NON sono “uno l’ingrandimento dell’altro”…

… Invece i due poligoni di quest’altra figura,

oltre ad avere gli angoli rispettivamente uguali,

hanno pure i lati proporzionali,

perché ciascun lato del primo poligono

è i 2/3 del lato che gli corrisponde nel secondo poligono.

In questa Figura 2, i due poligoni in gioco appaiono

“uno l’ingrandimento dell’altro”.

Dire che “hanno i lati corrispondenti proporzionali” significa dire

che il rapporto fra due lati corrispondenti è lo stesso per ogni coppia di lati corrispondenti.

Con riferimento alla Figura 2, .

Tale rapporto costante si dice “rapporto di similitudine”.

Ad esempio, in Figura 2, il rapporto di similitudine dei due quadrilateri

(presi in quest’ordine), è 2/3 (prendendoli invece nell’ordine opposto, il rapporto di similitudine sarebbe 3/2)

q TRIANGOLI SIMILI

Abbiamo visto che due poligoni si dicono simili se hanno gli angoli risp. uguali e i lati corrisp. proporzionali.

Nel caso dei triangoli, tuttavia, questa definizione si rivela sovrabbondante, perché si può dimostrare

che se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, allora hanno SENZ’ALTRO anche i lati

corrispondenti proporzionali; cosa che invece non necessariamente accade per i poligoni con più di 3 lati.

Questo enunciato (di cui non diamo qui la dimostrazione) prende il nome di “Primo Criterio di Similitudine”.

TEOREMA (1° Criterio di similitudine) - Se due triangoli hanno

gli angoli rispettivamente uguali, allora sono simili, cioè hanno anche i lati corrispondenti proporzionali.

LA PROPORZIONALITA’ SI PUO’ “VEDERE” IN DUE MODI

Se abbiamo due triangoli simili,

l’affermazione che

“i lati corrispondenti

sono proporzionali”

può essere interpretata

indifferentemente in due modi,

che si equivalgono perfettamente fra loro.

ma anche

Le due proporzioni

qui a fianco

sono equivalenti:

si possono ricavare

l’una dall’altra

applicando

la proprietà

del permutare i medi.

♪ Si può dire che il rapporto tra due lati corrispondenti è costante, cioè che

“un lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente,

come un altro lato (del 1° triangolo) sta al suo corrispondente”

♫ … e si può anche dire il rapporto di due lati del 1° triangolo è uguale al rapporto

dei due lati corrispondenti del 2° triangolo (presi nello stesso ordine), cioè che

“un lato (del 1° triangolo) sta ad un altro lato (sempre del 1° triangolo)

come il corrispondente del primo sta al corrispondente del secondo”

E’ chiaro che ciascuno è perfettamente libero di “vedere”, di esprimere, la similitudine, nel modo che preferisce!

Il 1° Criterio di Similitudine è un teorema che si applica con grandissima frequenza negli esercizi.

Osserviamo fra l’altro che si può subito concludere che due triangoli dati sono simili

anche soltanto sapendo che hanno DUE angoli rispettivamente uguali,

perché allora (per differenza rispetto a 180°) saranno certo uguali anche gli angoli rimanenti.

COROLLARIO del 1° Criterio di Similitudine

Una retta parallela ad un lato di un triangolo

stacca da questo un triangolo simile al dato

Si dice “corollario” una

affermazione che sia immediata conseguenza di un’altra

Figura qui a fianco: basta tener presente che,

quando si hanno due parallele con trasversale,

gli angoli corrispondenti sono uguali …

TEOREMA (2° Criterio di similitudine)

Se due triangoli hanno due lati proporzionali, e gli angoli compresi uguali, allora sono simili

Quindi possiamo ad esempio dire che sono simili due triangoli ABC e PQR tali che:

TEOREMA (3° Criterio di similitudine)

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente proporzionali, allora sono simili.

In pratica, se noi raddoppiamo, o triplichiamo , o dimezziamo, o riduciamo alla 3a parte, … , insomma:

moltiplichiamo per uno stesso numero tutti e tre i lati di un triangolo,

otterremo in questo modo un triangolo che sarà sicuramente simile a quello di partenza.

PROBLEMI CON LE SIMILITUDINI: UN ESEMPIO SVOLTO

In un triangolo rettangolo ABC i due cateti AB e AC misurano rispettivamente 24 cm e 32 cm.

Sull’ipotenusa BC si prende un segmento CP = 15 cm e per P si tracciano:

· la perpendicolare ad AC, fino ad incontrare AC in L

· e la perpendicolare a BC, fino ad incontrare AC in N.

Quanto misurano i tre segmenti PL, PN, PA?

Ripasso

PROPRIETA' FONDAMENTALE

DELLE PROPORZIONI:

“In una proporzione, il prodotto dei medi

è uguale al prodotto degli estremi;

E, VICEVERSA,

se 4 numeri non nulli sono tali che il prodotto

di due di essi è uguale al prodotto degli altri due,

allora con tali quattro numeri si può costruire

una proporzione, a patto di prendere come medi (o come estremi) i fattori di uno stesso prodotto”.

Conseguenza:

se il termine incognito è un estremo, sarà uguale

al prodotto dei medi FRATTO l'estremo noto;

se il termine incognito è un medio, sarà uguale

al prodotto degli estremi FRATTO il medio noto

Esempio

(rettangoli, in comune)

Il simbolo

“simile con”

è un serpentello:

(un lato

sta al suo corrispondente,

come un altro lato

sta al suo corrispondente)

oppure

(un lato sta a un altro lato

- sempre nello stesso triangolo -

come il corrispondente del primo

sta al corrispondente del secondo)

NOTA

Nei due triangoli considerati,

i due lati PL ed AB

si corrispondono perché

sono i due cateti minori,

oppure:

perché stanno opposti

allo stesso angolo