8. ALCUNE FORMULE UTILI
I valori delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente) degli angoli multipli di 30° o di 45°
si possono trovare utilizzando le formule qui sotto riportate (facilmente ottenibili con semplici considerazioni
di geometria elementare e utilizzando il T. di Pitagora). Esse permettono, nei cosiddetti “triangoli rettangoli
particolari”(=quelli con gli angoli acuti di 30° e 60°, o di 45°), di ricavare tutti i lati conoscendo uno solo di essi.
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In un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI 45° (che può essere visto come la metà di un quadrato): q
L’IPOTENUSA
E’ UGUALE AL CATETO MOLTIPLICATO q
IL
CATETO E’ UGUALE ALL’IPOTENUSA DIVISO
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Ricordiamo che
L’espressione di norma “razionalizzata”:
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Scrivendo noi non abbiamo alterato il valore dell’espressione di
partenza perché l’abbiamo moltiplicata per 1 ! L’abbiamo invece “razionalizzata”, cioè ci siamo liberati della radice a denominatore, ritenuta per varie ragioni fastidiosa.
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In un TRIANGOLO RETTANGOLO CON GLI ANGOLI ACUTI DI 30° e 60° (che può essere visto come la metà di un triangolo equilatero):
q IL CATETO MINORE E’ META’ DELL’IPOTENUSA e quindi l’ipotenusa è il doppio del cateto minore q IL CATETO MAGGIORE E’ UGUALE AL MINORE
MOLTIPLICATO il cateto maggiore è uguale a metà ipotenusa
moltiplicato mentre il cateto minore è uguale al cateto
maggiore diviso
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Ricordiamo che
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q Quanto valgono sen 120° e cos 120°?
Facciamo un disegnino e ricordiamo che il raggio della circonf. goniometrica vale 1. I lati del triangolo rett. particolare OPH ( 1 (l’ipotenusa
OP); Allora avremo,
tenendo conto dei segni:
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q
Quanto
vale
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Questa volta il segmento noto è OA = raggio = 1.
Si trae subito, tenendo conto che T ha ordinata negativa,
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q Quanto valgono seno e coseno di 315° ?
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Il segmento noto è qui OP = raggio = 1. Il triangolo rett. POH ha gli angoli acuti di 45°. P ha ascissa negativa e ordinata positiva …
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VALORI DEL SENO E DEL COSENO DI ALCUNI ANGOLI “PARTICOLARI”.
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Il coseno è la 1a coordinata, ossia l’ascissa del punto; il seno è la 2a coordinata, ossia l’ordinata.
Tanto per fare un esempio: l’angolo di 120° ha come misura in radianti
e, dato che il punto associato è
significa che
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9. ESERCIZI (risposte a pag. 90)
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Dopo
aver coperto con la mano la figura qui sopra, determina i valori seguenti: |
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1)
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2)
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3)
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4)
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5)
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6)
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7)
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8)
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9)
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10) |
11) |
12) |
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13) |
14) |
15) |
16) |
17) |
18) |
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19) |
20) |
21) |
22) |
23) |
24) |
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25) |
26) |
27) |
28) |
29) |
30) |
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31) |
32) |
33) |
34) |
35) |
36) |
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37) |
38) |
39) |
40) |
41) |
42) |
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43) |
44) |
45) |
46) |
47) |
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49) |
50) |
51) |
52) |
53) |
54) |
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Stabilisci
quali sono, nell’ambito del primo giro ( le
soluzioni delle seguenti equazioni goniometriche (scrivi le soluzioni in
gradi). |
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55) |
56) |
57) |
58) |
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59) |
60) |
61) |
62) |
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63) |
64) |
65) |
66) |
RISPOSTE agli
esercizi di pag. 87
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1) 3) Sono
simili: ·
A e C , perché hanno
gli angoli rispettivamente uguali! 1° Criterio. Infatti in A un angolo misura 50° e
gli altri due, essendo uguali fra loro in quanto A è isoscele perché ha due lati entrambi di 2 cm, misureranno
e gli angoli di C misurano 65°, 65°, ·
B e D , in
quanto hanno due lati proporzionali e gli angoli compresi uguali perché
entrambi di 90°:
2° Criterio di similitudine. ·
E e F, perché hanno
i lati in proporzione: 3° Criterio.
Ciascun lato di F è infatti il doppio del lato che gli corrisponde in
E. 4) Il
perimetro di |
RISPOSTE agli esercizi
di pag. 89
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1)
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2)
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3)
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4)
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5)
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6)
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7)
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8)
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9)
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10) |
11) |
12) |
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13) |
14) |
15) |
16) |
17) |
18) |
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19) |
20) |
21) |
22) |
23) |
24) |
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25) |
26) |
27) |
28) |
29) |
30) |
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31) |
32) |
33) |
34) |
35) |
36) |
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37) |
38) |
39) |
40) |
41) |
42) |
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44) |
45) |
46) |
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49) |
50) |
51) |
52) |
53) |
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57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
Immagine a
fianco: |
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