10.  CALCOLATRICI E FUNZIONI GONIOMETRICHE

 

Ma come farà mai la calcolatrice tascabile a determinare i valori delle funzioni goniometriche, dirette e inverse?

 

La matematica mette a disposizione, per calcoli di questo tipo, le formule di Maclaurin.

Colin Maclaurin o Mac Laurin, 1698-1746, fu un matematico scozzese. Eccole, queste fantastiche formule:

 

q          q       q

Il “punto esclamativo” indica il cosiddetto “fattoriale” di un intero: ad esempio,   Le “somme di infiniti addendi” ( = “serie”) a secondo membro approssimano il valore esatto tanto meglio, quanto più alto è il numero degli addendi presi in considerazione.

q       Inversa del seno ( , dal seno fa tornare all’angolo espresso in radianti):

         

Si legge “arco seno di x” (che significa, essenzialmente: “il più semplice fra gli archi aventi per seno x ”)

q       Inversa del coseno:  

q       Inversa della tangente:  

 

Per testare la correttezza di queste formule, prova tu stesso a prendere, ad esempio,

la formula per  e ad applicarla nel caso dell’angolo di 30°.

 

Prima di tutto dovrai passare ai radianti ottenendo, per l’angolo in gioco, la misura 0.5236 (valore arrotondato).

Poi porrai x = 0.5236 e considererai, ad esempio, i primi 3 termini, eseguendo il calcolo.

 

Otterrai un valore che in piccola parte dipenderà anche dagli arrotondamenti eseguiti nei vari passaggi dallo

strumento di calcolo di cui ti sei servito, ma che comunque dovrebbe essere vicino a 0.500003193, numero

che differisce di pochissimo da quello che è il VERO seno di 30° ossia, come è noto, esattamente 1/2 = 0.5.

 

Prendendo un numero maggiore di termini (e partendo da una misura in radianti affetta da un errore

di arrotondamento più piccolo) il valore ottenuto sarebbe ancora più preciso.

 

Bene! Quando tu, sulla tua calcolatrice, digiti la misura di un angolo e poi pigi il tasto della funzione ,

la macchinetta fa proprio questo lavoro: trasforma eventualmente i gradi in radianti ed esegue la rispettiva

formula di Maclaurin, con un numero di termini adeguato alla precisione consentita dalla macchinetta stessa.

 

Un altro metodo per il calcolo automatico delle funzioni goniometriche è il cosiddetto metodo CORDIC,

di cui non ci possiamo qui occupare.

 

 

LE VARIANTI DELLA SIMBOLOGIA (SUI LIBRI, SUI COMPUTER, SULLE CALCOLATRICI)

 

a)      Accade che, su certi libri di testo o sui tasti delle calcolatrici,

si incontrino leggére variazioni dei simboli da noi scelti:

ad es., al posto di sen x puoi trovare sin x, al posto di tg x puoi trovare tan x.

A volte, poi, viene usata una parentesi dove noi non l’abbiamo invece messa: sen (x), cos (x) ecc.

 

Analogamente per le funzioni goniometriche inverse:

·       al posto di arc sen puoi trovar scritto arc sin o anche  o

·       al posto di arc cos puoi trovar scritto  

·       al posto di arc tg puoi trovar scritto arc tan o anche  

 

 

b)      Occhio quando usi la calcolatrice tascabile, alla questione dei radianti e dei gradi!

Se vuoi calcolare, ad esempio, il seno dell’angolo di 2°,

devi controllare che la macchinetta sia impostata sui “gradi” e non sui “radianti”.

 

C’è comunque sempre un tasto, o una successione di tasti, che consente il

passaggio dall’impostazione “in gradi” a quella “in radianti” e viceversa.

 

In ogni caso, tramite la proporzione   

è possibile passare dalla misura di un arco in gradi (x°) alla misura y dello stesso arco in radianti:

♪      Dai gradi x ai radianti y:   

♫       Dai radianti y ai gradi x: