12. ESERCIZI (risposte alla fine della rassegna)
ESEMPI SVOLTI
|
Un bambino sta facendo volare un aquilone, in una giornata di primavera in cui il vento è molto forte. La corda è tesa, viene utilizzata per intero, e forma col suolo un angolo di 50°. La lunghezza della corda è di 30 metri. Quanto si è sollevato dal suolo l’aquilone?
|
|
|
|
|
FAI SEMPRE UN DISEGNO SCHEMATICO DELLA SITUAZIONE! E SUL DISEGNO, RIPORTA CON CURA I VARI DATI! |
|
|
Certamente, data la manifesta approssimazione da cui sono affette le informazioni, non sarebbe stato logico scrivere il risultato con una precisione maggiore. Anzi, occorrerebbe a questo punto aggiungere ancora 1 metro circa … l’altezza da terra della mano che regge la corda!
|
||
|
Una passerella, che permette di superare un dislivello di 80 cm, forma un angolo di 20° col suolo. Quanto è lunga la passerella?
Abbiamo approssimato al risultato del calcolo alle unità perché una precisione maggiore non avrebbe avuto molto senso: i dati sono evidentemente affetti da incertezza, la passerella non è perfettamente rigida, poi nella pratica, quando viene sistemata, dovrà andare leggermente più in alto degli 80 cm …
|
|
|
Si valuta l’altezza di un bell’abete stando alla finestra di una villa distante 30 metri. Se l’osservatore ne vede la base e la sommità rispettivamente secondo · un angolo di depressione di 8° · e un angolo di elevazione di 24°, quant’è alto l’abete?
Totale: circa
|
|
|
Un grattacielo di 120 metri si affaccia su di una grande piazza al centro della quale sopravvive un’antica chiesetta romanica. Se la sommità del campanile è vista: · dalla cima del grattacielo, secondo un angolo di depressione di 35° · e dalla base del grattacielo, secondo un angolo di elevazione di 10° quanto è alto il campanile?
Facciamo innanzitutto un disegno schematico, con tutti i dati. Ci renderemo conto che qui è opportuno porre un’incognita. Ad esempio, si potrà indicare con x l’altezza del campanile.
Converrà tracciare la perpendicolare CH alla linea AB che indica la parete del grattacielo affacciata alla piazza …
La distanza CH può essere espressa sia considerando il triangolo CAH, che il triangolo CBH. Uguagliando le due espressioni così ottenute, si ha l’equazione riportata, e poi risolta, sotto la figura.
|
|
|
|
1) Trasforma in radianti.
a)
b)
2) Trasforma in gradi, primi, secondi
a)
b)
(NOTA: la sigla rad di norma viene lasciata sottintesa)
3) Data la lunghezza del raggio e l’ampiezza dell’angolo, determina la lunghezza dell’arco
a)
b)
4) Data la lunghezza dell’arco e il raggio, trovare l’angolo al centro corrispondente in gradi e in primi.
a)
b)
5) Un arco è lungo cm 4.7, ed è sotteso da un angolo al centro di 23.4°.
Quanto misura il raggio della circonferenza?
6) Un arco è lungo m 0.03, ed è sotteso da un angolo al centro di 2°.
Quanto misura il raggio della circonferenza?
7) In un cerchio di raggio 4.5 metri, quanto è lungo un arco di 2 radianti?
In un cerchio di raggio 4.5 metri, quanto è lungo un arco di 2°?
In un cerchio di raggio 2 m, quanto è lungo un arco di 25° 30’?
8) In una circonferenza di diametro 4 metri, che angolo al centro corrisponde a un arco lungo 1 metro?
Esprimi la risposta in gradi, primi e secondi.
|
Puoi trovare altri esercizi di questo tipo, e dei tipi successivi, su http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/angle.html
|
|
SENO, COSENO, TANGENTE (E RISPETTIVE INVERSE): TRIANGOLI RETTANGOLI
|
9) In un triangolo ABC rettangolo in C, di lati a, b,
c (a opposto ad ,
ecc.), è
e
.
Determina b e c.
10) In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono di 35° ciascuno.
Determinare il perimetro del triangolo (arrotondandone il valore a 1 cifra decimale) nell’ipotesi che
a) il lato obliquo misuri 10 cm
b) la base misuri 10 cm
c) l’altezza misuri 10 cm
11) Un asse di lunghezza 3 m viene appoggiato a una parete.
Determina l’altezza a cui arriva l’asse sulla parete sapendo che esso forma col pavimento un angolo di 53°.
12) Per misurare l’altezza di uno scoglio una persona vi sale in cima, fissa alla roccia il capo di una fune
e lancia l’altro capo a un amico sulla spiaggia.
La fune viene tesa e risulta misurare metri 11.8. L’angolo che la fune forma con la spiaggia è di 65°.
Quanto è alto dunque lo scoglio?
13) Se una scala lunga m 2.4, appoggiata al muro, forma col pavimento un angolo di 75°,
quanto dista dalla parete la linea d’appoggio della scala?
14) Se una lunga scala, appoggiata al muro, forma col pavimento un angolo di 77°,
e la sua linea d’appoggio dista dalla parete 60 cm, quanto misura la scala?
E a che altezza arriva sulla parete?
15) Una grossa quercia dista 180 metri, e il suo “angolo di elevazione” è di 10°. Quanto è alta la quercia?
|
16) Da un punto delle bianche scogliere di Dover, alto 100 metri sul mare, si vede una boa con angolo di depressione di 18°. Quanto dista la boa dalle scogliere? |
|
17) Dalla cima di una collina sto intravedendo col binocolo un amico, seduto sul cucuzzolo di un’altra collina
250 metri più alta, sotto un angolo di elevazione di 12°. Qual è la distanza in linea d’aria fra me e l’amico?
18) Se l’asta di una bandiera, alta metri 8.40, ha un’ombra lunga metri 3.50,
che angolo formano i raggi solari col terreno?
|
19) La figura mostra schematicamente la sezione di un tetto. Le travi sono lunghe m 6.25 e la larghezza AB della struttura è di m 10. Si domanda qual è l’inclinazione in gradi di ogni trave rispetto all’orizzontalità.
20) Una scala a pioli è appoggiata sul muro esterno di una casa; la scala è lunga metri 3.25, e l’altezza che raggiunge sul muro è di metri 3. Che inclinazione ha la scala? Qual è la distanza fra la linea d’appoggio della scala sul selciato e la parete?
21) Un’asta lunga un metro, appoggiata verticalmente sul terreno piano, vi proietta un’ombra di m 0.6. Nello stesso istante un palo della luce proietta un’ombra di 3.3 m. Quanto è alto il palo della luce? Che inclinazione ha, in gradi, la luce solare?
|
|
|
22) sostiene che dormire su di un letto inclinato di 5° (rialzato dalla parte della testa) porta notevoli benefici alla salute, specie per gli ammalati di determinate patologie. Se l’asse del letto è lungo 2 m, di quanto andrà sollevata la base per applicare la terapia? |
|
23) In un piccolo paese due signore anziane inferme, che abitano in appartamentini situati uno di fronte
all’altro, da parti opposte di una strada larga 4 metri, si fanno consegnare le compere a turno, e si passano
poi il pane, il latte e così via, attraverso un cestello fatto scorrere lungo una fune che collega le due finestre.
Sapendo che la finestra più bassa è a 3.5 metri dal livello della strada, e quella più alta a 4.2 metri,
trovare approssimativamente l’angolo di inclinazione della fune rispetto all’orizzontalità
24) Il parroco di una chiesa decide di far realizzare una rampa in modo che le carrozzine dei fedeli disabili
possano affrontare il dislivello di 1 metro e 20 cm, fra la piazza e la porta della chiesa,
|
fino ad oggi superabile solo attraverso i gradini di una scalinata. La normativa richiede che la pendenza della rampa non superi gli 8°. Un muratore del paese si offre di svolgere il lavoro gratuitamente, ma … … che lunghezza dovrebbe avere, al minimo, la base d’appoggio sul selciato di questa rampa? |
|
25) Un aeroplano è diretto dagli Stati Uniti verso una località nell’Italia del Nord.
Se sta volando sull’oceano a un’altezza di 9500 metri dal suolo,
e vede la linea costiera del Portogallo sotto un angolo di depressione di 15°,
quanti km deve ancora viaggiare prima di sorvolare il litorale?
26) Mentre scattavo una foto a Parigi, la cima della Tour Eiffel, che è alta 324 metri,
mi appariva secondo un angolo di elevazione di 60°. A che distanza ero dalla torre?
a) Fra i 150 e i 160 metri? b) Fra i 160 e i 170? c) Fra i 170 e i 180? d) Più di 180 metri?
27) Dalla terrazza (alta 30 metri) alla sommità di un condominio, si osserva una bicicletta avvicinarsi.
Se l’angolo di depressione passa da 10° a 60°, che distanza ha percorso nel frattempo il ciclista?
28) Sulla parete di un grattacielo c’è una vetrata davvero molto alta.
Un geometra in pensione, incuriosito, si posiziona di fronte all’edificio, a una distanza di 50 metri
dalla facciata, e constata che la base della vetrata e la sua sommità vengono viste, da lì,
secondo angoli di elevazione di 23° e di 52° rispettivamente.
Quanto misura la vetrata?
|
|
|
|
La distanza,
dall’osservatore AB, della linea dell’orizzonte, è l’arco
E’ fondamentale tener presente, in queste questioni, che
q UNA RETTA TANGENTE A UNA CIRCONFERENZA È SEMPRE PERPENDICOLARE AL
RAGGIO CHE VA AL PUNTO DI CONTATTO
(
q Si dice che La semiretta OD potrebbe interessare in relazione al problema di stabilire quanto dev’essere alto un oggetto sulla superficie terrestre, per poter essere visto da un osservatore posto in T, o posto in B.
29) Una scogliera è alta 100 metri sul mare. Quanto dista, per un osservatore seduto sul prato in cima alla scogliera, la linea dell’orizzonte?
Sulla distanza dell’orizzonte: http://www.iki.rssi.ru/mirrors/stern/stargaze/Ihorizon.htm
30) Un faro dista dalla costa 45 km. Quanto è alta, al minimo, la sua lampada, se la può vedere una persona sdraiata sulla spiaggia?
|
|
|
31) ma supponendola invece una sfera perfetta, e assumendo come lunghezza del raggio 6371 km, qual è il cambio di latitudine in un viaggio di 1000 km verso Sud?
32) Se ci si sposta da Sud verso Nord di un primo ( = sessantesimo di grado) di latitudine, supponendo che di raggio uguale a 6371 km, che distanza si percorre?
33) ed è vista dalla Terra, a seconda delle fasi della sua orbita, secondo un angolo che può variare, ma che si mantiene vicino a 31’. Se uno studente ha a disposizione questi dati, che valutazione può dare della distanza Terra-Luna? |
|
|
Latitudini: Nord = positive; Sud = negative
L’equatore ha latitudine 0, il polo Nord
|
34) Due punti A e B sono sullo stesso meridiano terrestre, uno a Nord e l’altro a Sud dell’equatore,
alle latitudini e
rispettivamente. Quanto distano i due punti
lungo la superficie terrestre,
supposto di approssimare
35) La bella Anja risiede presso il circolo polare artico, alla latitudine Nord di 66° (+66°).
L’atletico Zwanga è africano: sta sullo
stesso meridiano di Anja, ma alla latitudine Sud di 23° ( ).
Comunicano tramite Internet!
Una sera, Anja racconta di vedere la luna esattamente all’orizzonte;
Zwanga invece riferisce di osservarla proprio sopra la propria testa.
E’ noto che il raggio della Terra è di circa 6371 km.
Si può dare, con questi dati, una valutazione della distanza Terra-Luna?
|
La “PENDENZA” di un tratto rettilineo di strada è definita come il quoziente e quindi, in definitiva, equivale alla tangente goniometrica di un angolo:
|
|
|||
|
Se si moltiplica per 100 il
numero QUALCHE ESEMPIO (qui consideriamo il caso rettilineo, ma il succo del discorso si può poi estendere al caso generale, come specifica la NOTA a fianco della tabella):
|
||||
|
Angolo |
Pendenza |
Pendenza percentuale |
NOTA E se la strada non è rettilinea? Beh, allora ha senso parlare piuttosto di “pendenza media”. Questa è definita come rapporto tra il dislivello e la distanza orizzontale Quest’ultima NON è però la distanza effettivamente percorsa, bensì è lunghezza della curva che si otterrebbe proiettando il percorso vero e proprio su di un piano perfettamente orizzontale. |
|
|
45° |
1 |
100° |
||
|
60° |
1.73 |
173% |
||
|
80° |
5.67 |
567% |
||
|
30° |
0.58 |
58% |
||
|
20° |
0.36 |
36% |
||
|
10° |
0.18 |
18% |
||
|
90° |
infinita |
infinita |
||
|
|
|
|
||
|
La definizione è identica a quella che si dà in Geometria Analitica (pendenza, slope, di una retta = coefficiente angolare).
Ma dal punto di vista pratico, per una data strada, come si procederà?
Beh,
· rilevare · oppure rilevare
Tuttavia, c’è anche chi, dopo aver utilizzato il
contachilometri per trovare non si “scomoda” a fare il
pur semplice calcolo, e assume come valore per la pendenza In effetti, se, come avviene per la grandissima maggioranza delle strade, la pendenza non supera il 20% (circa 11.3°), l’errore che si commette in questo modo è inferiore al 5%; addirittura, nel caso di pendenze prendendo
Diciamo quindi che nel concreto è come se qualcuno applicasse la definizione
anziché
ma per pendenze piccole la differenza fra le due alternative è, ai fini pratici, irrilevante.
|
||||
36) Determina la pendenza percentuale di un tratto
rettilineo di strada che si elevi di un angolo
37) Una pendenza è del 7% se calcolata mediante la
formula .
E se
invece per il calcolo si utilizzasse la ?
38) Una pendenza è del 100% se calcolata mediante la
formula .
E se
invece per il calcolo si utilizzasse la ?
|
|
39) Un segnale di discesa pericolosa. Se il contachilometri mi dice che ho percorso 800 metri, di quanti metri sono sceso in verticale? |
|
PIU’ DIFFICILI (IN QUALCHE CASO POTREBBE ESSERE NECESSARIA UNA EQUAZIONE …) |
40) Dalla sommità di un edificio molto elevato la casa di fronte, che è alta 10 metri, viene vista in modo tale
che l’angolo di depressione del suo tetto è di 42° mentre l’angolo di depressione della sua base è di 52°.
Quanto sono distanti i due fabbricati? E quanto è alto il primo?
41) Un oggetto non identificato nel cielo è fisso in una posizione P, e due osservatori A e B sul terreno,
a distanza ,
lo vedono guardando dalla stessa parte, sotto le inclinazioni
e
.
Il triangolo PAB sta su di un piano che è perpendicolare al terreno. Quanto dista da terra l’oggetto?
42) Una scala viene appoggiata ad un muro esterno, in modo da formare col marciapiede un angolo di 64°.
Poi la linea di appoggio sul marciapiede viene avvicinata di 20 cm al muro,
e allora l’inclinazione della scala aumenta di 4°. Quanto è lunga la scala?
(Indicazione: si possono scrivere due uguaglianze, ciascuna contenente due incognite;
poi, sottraendole, l’incognita diventa una sola …)
43) Una torcia elettrica è appoggiata a terra orizzontalmente ed accesa.
Un bambino alto 80 cm proietta sulla
parete, che dista da lui 2 metri e ,
un’ombra alta 1 metro e 20 cm.
Qual è la distanza della torcia dai piedi del bambino?
|
44) Un marinaio deve raggiungere una piccolissima isoletta distante 18 miglia; ma si addormenta, e intanto la barca procede per 12 miglia lungo una direzione sfasata di 20° rispetto a quella giusta. Quanto dista ora la barca dall’isola?
http://www.onlinemathlearning.com/trigonometry-applications.html riporta un filmatino in lingua inglese su di un problema simile. |
|
45) Un giocatore di golf colpisce con decisione la pallina, posta nel punto P, distante 90 metri
dalla posizione B della buca; ma esagera, e il lancio è addirittura di 120 metri …
oltre tutto, la direzione è sbagliata: 15° più a sinistra rispetto alla linea PB.
Quanto dista dopo il lancio la pallina dalla buca?
46) Dimostra, nel caso del triangolo acutangolo, e servendoti dei suggerimenti indicati, i seguenti due
fondamentali teoremi, che possono poi essere estesi a un triangolo qualsiasi, anche ottusangolo o rettangolo.
|
TEOREMA DEI SENI
In qualsiasi triangolo, è costante il rapporto fra un lato e il seno dell’angolo opposto
Suggerimento Traccia l’altezza CH relativa ad AB; chiamala h. Ora, h è uguale sia a ………….……….. che a ………….……….. per cui e, dividendo ambo i
membri per Se poi si tracciasse l’altezza AK, si avrebbe …………….……….. perciò ……….………….. |
|
|
|
TEOREMA DEL COSENO (O DI CARNOT).
Può essere considerato come una generalizzazione del Teorema di Pitagora ai triangoli qualsiasi.
In ogni triangolo, è
|
Suggerimento Per la dimostrazione della facciamo riferimento alla figura precedente e sfruttiamo il fatto che, per qualsiasi angolo
Prego, puoi proseguire tu! (se conosci i “prodotti notevoli” e il “raccoglimento a fattor
comune”) |
|
|
|
1) a)
Circa 0.42 b) Circa 1.66
2) a)
138° 39’ 21’’ b)
22° 55’ 6’’
3) a)
Circa 3.10 km b) Circa 1.59 cm
4) a) Circa 25° 47’
b) Circa 36° 1’
5) cm 11.5 circa 6) m 0.86
circa
7) m 9; circa
m 0.157; circa 0.89 m 8)
28° 38’ 52’’ circa
9) 10) a) circa 36.4 cm b)
circa 22.2 cm c) circa 63.4 cm
11) 12)
13) Circa 62 cm
14) Circa 267 cm; circa 260 cm 15) Circa 32 metri
16) Il calcolo porta a un valore vicino a 308 metri;
diciamo, realisticamente, 300 metri circa
17) Circa 1200 m
18) Poco più di 67° (il calcolo dà circa 67° 23’) 19) Poco meno di 37° 20) 67° abbondanti; m 1.25
21) m 5.5; circa 59°
22) Circa 17.4 cm 23) Intorno a
10° 24) 8.54 metri 25) Circa 35 km e
26) d) 27) Circa
153 m 28) Quasi 43 metri (42.77…
prendendo i dati alla lettera; ma non ha molto senso)
29) Quasi 36 km (il calcolo porta a un numero
vicinissimo a 35.7) 30) 159 metri
31) Circa 9°
32) Circa 1 km e 853 m
33) Qui si fanno i calcoli come se il diametro della
Luna fosse “un pezzetto di arco”,
in una circonferenza il cui raggio è la
distanza fra l’osservatore e
Ci sono inoltre varie approssimazioni
nei dati.
Si ottiene in questo modo, come
distanza fra l’osservatore e
La reale distanza media tra il centro
della Terra e il centro della Luna è stimata in 384400 kilometri.
34) Circa 445 km
35) 365000 km. La differenza rispetto al valore vero
(distanza media = 384400 km circa)
si deve alle varie approssimazioni (dei
dati e delle osservazioni) che evidentemente sono in gioco.
36) Vicina al 25%
37) 6.98… % (differenza fra i
valori davvero trascurabile! L’angolo è piccolo)
38) 70.7… %
(qui la differenza fra i valori è notevole: l’angolo è grande)
|
39) Risposta immediata: di
circa 80 m. La pendenza è
comunque “piccola”, e il contesto ci fa capire che quel
“10%” è già un’approssimazione: sarebbe
dunque un esercizio puramente teorico stare a calcolare che, se il
10% si intende ricavato con la formula il vero calo
di altitudine sarebbe di metri 79.6 40)
L’altezza del primo edificio è
all’incirca di metri |
|
|
41)
|
e sottraendo membro a
membro
|
|
42) |
|
|
||
|
43) |
|
|
||
|
44) |
|
Tracciata la distanza
|
||
|
45) |
Quesito del tutto analogo al precedente. La distanza è di circa 40 metri. |
|||
|
I) Brevi FILMATI IN LINGUA INGLESE, dove la
professoressa scandisce molto bene le parole, ed è calma e accurata nella
spiegazione. a) SOHCAHTOA
(cos’è? Scoprilo!) b) Semplice
problema su di un triangolo rettangolo c) Problemino
sugli angoli di elevazione II) La pagina web http://www.onlinemathlearning.com/trigonometry-problems.html riporta un FILMATO, IN LINGUA
INGLESE, con pronuncia molto chiara. L’argomento trattato è molto semplice:
la risoluzione di un triangolo rettangolo. Vengono presentati a) il “classico” problema della scala b) la scogliera e la nave: angolo di
depressione. III) Il sito http://www.analyzemath.com/ propone svariati contributi su
diversi aspetti della Matematica, fra cui a) a cominciare da semplici
quesiti su angoli, radianti … b) … e da una raccolta
di problemi con risoluzione IV) Il sito http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ offre un corso di Trigonometria molto ben
fatto, con parecchi esercizi V) Il bellissimo di David P. Stern, tradotto da Giuliano
Pinto, è innanzitutto un affascinante viaggio nel
mondo dell’astronomia, tuttavia riporta anche richiami di
Matematica e in particolare di Trigonometria. Ad esempio, i problemi presentati in http://www.phy6.org/stargaze/Strig6.htm
sono interessanti. |