Chi ha paura della

matematica?

 

 

L’INTERO VOLUME 2

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Volume 2

 

 

 

 

 

 

I FILE PDF CAPITOLO PER CAPITOLO:

 

     1.      I RADICALI   pagg. 2-35

     2.      Le EQUAZIONI DI 2° GRADO - prima parte   36-50

     3.      NUMERI COMPLESSI   51-60

     4.      Le EQUAZIONI DI 2° GRADO - seconda parte   61-67

     5.      OLTRE LE EQUAZIONI DI 2° GRADO   68-88

     6.      GRAFICI e risoluzioni grafiche   89-127

     7.      SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL 1°   128-135

     8.      DISEQUAZIONI   136-166

     9.      GEOMETRIA   167-277

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     10.    TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE piane   278-314

     11.     Le MATRICI e I)  il Teorema di Rouché-Capelli  II)  le trasformazioni lineari   315-324

     12.    I VETTORI e i concetti di dipendenza e indipendenza lineare   325-328

     13.    Cenni di GEOMETRIA SOLIDA   330-347

     14.    Principio di INDUZIONE MATEMATICA   348-349

     15.    Cantor e i “GRADI DI INFINITO   350-353

     16.    Elementi di STATISTICA descrittiva   354-427

     17.    Introduzione alla TRIGONOMETRIA   428-462

     18.    Cenni di CALCOLO COMBINATORIO   463-473

     19.    Cenni di CALCOLO DELLE PROBABILITÀ   474-500

     20.    ALGORITMI   501-515

     21.     Prove INVALSI - PROBLEMI VARI e “creativi”   516-537

 

 

 

L’INDICE NEL DETTAGLIO:

 

 

   DAL VOLUME 1 AL 2  pag. 1

 

   I RADICALI

 

 

     1.   Definizione di radice  2

     2.  Due identità veramente fondamentali  2

     3.  Radicando e risultato positivi. Ma perché?  3

     4.  La proprietà invariantiva dei radicali  4

     5.  Prodotto e quoziente di radicali  5

     6.  Trasporto di un fattore dentro e fuori dal segno di radice  6

     7.  Radice di un radicale  6  

     8.  Potenza di un radicale  6

     9.  Somma algebrica di radicali  7

    10. Espressioni “tipo monomi, polinomi, prodotti notevoli”  8, 9

    11. L’aggettivo “irrazionale”  10, 11

    12. Razionalizzazione del denominatore di una frazione  12, 13

    13. Radicali doppi  14, 15

    14  Espressioni varie con radicali  16, 17

    15. Esercizi sui radicali, e rispettivi risultati

   a)  Definizione di radice, identità fondamentali  18

   b)  Proprietà invariantiva  19, 20

   c)  Prodotti, quozienti di radicali  19, 20

   d)  Portare il fattore esterno sotto radice    e)  Estrarre un fattore dal segno di radice  21, 22

   f)  Radice di un radicale    g)  Potenza di un radicale  21, 22

   h)  Somma algebrica di radicali  23, 24

   i)  Operazioni tipo “prodotti notevoli”  23, 24

   l)  Razionalizzazione  23, 24

     La sagra degli errori; qualche quesito pescato su Internet  25

   m)  Radicali doppi  26, 27

   n)  Espressioni varie  26, 27

   o)  Esercitazioni conclusive  27

 

     16.  Equazioni e sistemi di 1° grado con coefficienti irrazionali  28, 29

     17.  Dai “radicali assoluti” ai “radicali in   30

     18.  Radicali e valori assoluti  31

     19.  Sigh! I paragrafi 17) e 18) ci costringerebbero a rimettere in discussione …  32

          Quesiti; un sito Internet sui radicali  33

     20.  Esponenti frazionari  34, 35

 

 

   LE EQUAZIONI DI 2° GRADO - PRIMA PARTE

 

     1.   Che cos’è e come si risolve un’equazione di 2° grado

   Equazioni incomplete  36, 37

   L’equazione completa  38, 39

   La formula “ridotta”  40

   Coefficienti irrazionali  41

   Esercizi  42, 43

 

     2.   Equazioni di 2° grado letterali  44, 45   

      Esercizi  46

 

     Approfondimento (Internet, lingua inglese, computer)  47

 

 

     3.   Problemi di 2° grado  48, 49, 50

 

 

   NUMERI COMPLESSI

 

     1.   “Impossibile”? Uah, uah!  51

     2.   Numeri immaginari, numeri complessi  52, 53

     3.   A cosa non servono i numeri complessi  54, 55

     4.   A cosa servono i numeri complessi   a)  in matematica pura   b)  in Fisica e in Ingegneria  56 …  59

     5.   Esercizi  60

 

 

   LE EQUAZIONI DI 2° GRADO - SECONDA PARTE

 

      a)  Relazioni fra soluzioni e coefficienti  61

      b)  Trovare due numeri conoscendone la somma e il prodotto  61

      c)  Formula generale per scomporre in fattori un trinomio di 2° grado  62

      d)  Regola di Cartesio  63

      e)  Quesiti sulle equazioni parametriche di 2° grado  64, 65    

           Esercizi  66, 67

 

 

   OLTRE LE EQUAZIONI DI 2° GRADO

 

     1.   Equazioni algebriche, loro soluzioni e risolubilità  68, 69

      Approfondimento (in Inglese): Fundamental Theorem of Algebra  70

     2.   Le “soluzioni trovate per strada”  71

     3.   Equazioni di grado superiore al 2°: principali tipologie  72, 73, 74, 75

   A)  risolubili per scomposizione 

   B)  binomie

   C)  trinomie e in particolare biquadratiche

   D)  risolubili con artifici

     4.   Esercizi  76, 77, 78, 79

     5.   Equazioni irrazionali  80, 81, 82, 83

      Esercizi  84, 85

     Matematica e Problemi della Realtà: equazioni irrazionali e situazioni reali  86, 87, 88

 

 

   GRAFICI E RISOLUZIONI GRAFICHE

 

     1.   Presentazione  89

     2.   Funzioni lineari: rette  90, 91, 92, 93

     3.   Funzioni quadratiche: parabole  94, 95

     4.   Funzioni della proporzionalità inversa: iperboli  95

     5.   Il simbolo di “limite” (introduzione elementare)  96

     6.   Qualche cenno alla “Geometria Analitica”  97

     7.   Signori, le coniche !!!  98, 99, 100, 101

     8.   Grafici di potenze e radici, e della funzione “valore assoluto”.

      Funzioni pari, dispari, né pari né dispari  102, 103

     9.   Risoluzione grafica di un’equazione  104, 105

   10.   Funzioni quadratiche ed equazioni di secondo grado  106, 107

       Matematica e Problemi della Realtà:  funzioni quadratiche e problemi reali

   108, 109, 110, 111, 112, 113

   11.   Manipolazioni di grafici  114, 115, 116, 117, 118, 119

   12.   Inversione di una funzione numerica  120, 121, 122

   13.   Composizione di funzioni  123

   14.   Determinazione del dominio e del condominio di una funzione reale di variabile reale 

   124, 125, 126

   15.   Risposte agli esercizi  126, 127

 

 

 

   SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL 1°

 

     1.   Grado di un sistema. Metodi generali di risoluzione  128, 129

     2.   Sistemi simmetrici  130, 131

     3.   Sistemi di grado superiore al 1° con 3 o più incognite  132, 133

     4.   Sistemi risolubili con artifici vari o fattorizzazioni  134

     5.   Esercizi vari sui sistemi di grado superiore al 1°  135

 

 

 

   DISEQUAZIONI

  

     1.   La “number line”  136

     2.   Intervalli  136

     3.   Proprietà delle disuguaglianze  137

     4.   Data una disuguaglianza,  138

    -  si possono elevare a potenza i due membri?

    -  si possono estrarre le radici dei due membri?

     5.   Le disequazioni e la loro risoluzione  139

     6.   La risoluzione di una disequazione di 1° grado  139

     7.   Lo studio del segno di un trinomio di 2° grado e la risoluzione di una disequazione di 2° grado

           140, 141, 142, 143

     8.   Significato dei simboli   144

     9.   Esercizi sulle disequazioni di 1° e 2° grado  144, 145

      Ancora sullo studio del segno di un trinomio di 2° grado  146

   10.   Disequazioni in cui compaiono potenze  146, 147, 148, 149

   11.   La risoluzione grafica di una disequazione  150, 151

   12.   Problemi che hanno come modello una o più disequazioni  152

      Matematica e Problemi della Realtà: disequazioni e situazioni reali; cenni alla “ricerca operativa”

   153, 154, 155

   13.   Disequazioni di grado superiore al 2°  156, 157

   14.   Disequazioni fratte  158, 159

           Esercizi 

      160  (grado superiore al 2°)

      161, 162, 163  (fratte)

   15.   Sistemi di disequazioni  164, 165, 166

 

 

 

  GEOMETRIA

 

   Cap. 6: LA CIRCONFERENZA

 

     6.1    Definizioni  167 

 

     6.2    Teoremi fondamentali sulla circonferenza  168

 

     6.3    Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza  169

           Teorema “del cappello”  170

     Tangents and Circles  171

 

     6.4    Angoli alla circonferenza e angoli al centro  172, 173

 

     6.5    Posizioni reciproche di due circonferenze  174, 175

 

     6.6     Poligoni inscritti e circoscritti  176, 177

 

            Aiuto al ripasso  178, 179, 180

 

             Esercizi sul capitolo 6  da 181 a 188

 

 

   Cap. 7: MISURA DELLE GRANDEZZE

 

     7.1    Misuriamo i segmenti (misura intera, misura razionale, misura irrazionale)  189, 190, 191

 

     7.2    Misuriamo le superfici  192

 

     7.3    Generalizziamo  193, 194, 195

 

           Questionario per il ripasso  196

           Un uomo, un maestro: Pitagora di Samo  197

 

 

   Cap. 8: EQUIVALENZE; I TEOREMI

                DI EUCLIDE E DI PITAGORA

 

     8.1    L’equivalenza delle superfici piane  198, 199

 

     8.2    I teoremi di Euclide e di Pitagora  200, 201

 

   Esempi numerici, esercizi  202, 203

 

   Inverso del teorema di Pitagora; i teoremi di Euclide “ritrovati per similitudine”;

 

   terne pitagoriche; storia, approfondimenti dal sito del prof. Peiretti;

 

   le tante dimostrazioni alternative del teorema di Pitagora  204, 205, 206

 

          Ripasso, esercizi su equivalenze e teoremi di Euclide e Pitagora  207, 208

 

   Cap. 9: SIMILITUDINI

 

     9.1    Proporzioni  209, 210, 211

 

     9.2    Similitudini  da 212 a 219

 

     9.3    Applicazioni delle similitudini

              (teoremi della Bisettrice, delle Due Corde, delle Due Secanti, della Tangente e Secante)  220, 221

 

           Aiuto al ripasso, altri esercizi   222, 223

 

   Cap. 10: POLIGONI REGOLARI,  COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

 

    10.1    Triangoli rettangoli particolari (con angoli acuti di 45° oppure di 30° e 60°)  224, 225

 

    10.2    Poligoni regolari (Generalità, Triangolo equilatero, Quadrato, Esagono regolare  226, 227, 228

  Sezione aurea, decagono regolare  229

  Realtà e leggenda  230, 231

  Formula per il raddoppio del numero dei lati; Ottagono regolare; Pentagono regolare  232

 

    10.3   Una relazione interessante fra cateti, ipotenusa e altezza ad essa relativa  233

 

    10.4   Il trapezio circoscritto ad una semicirconferenza  233

 

    10.5   La formula di Erone  234

 

    10.6   Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo, espresso in funzione dei lati  235

 

    10.7   Il raggio del cerchio circoscritto  235

 

            Ripasso, esercizi geometrici vari  236, 237

 

     10.8   Area del cerchio, lunghezza della circonferenza, il numero   238, 239

 

            Quesiti su cerchi e circonferenze, tratti da gare matematiche  240, 241

 

 

 

   PROBLEMI GEOMETRICI

 

   -     1° grado  242, 243, 244

 

   -     con applicazione di Euclide e Pitagora  245

 

   -     2° grado  246, 247, 248, 249, 250, 251

 

   -     con triangoli rettangoli particolari  252, 253

 

   -     con equazione risolvente irrazionale  254, 255 (esempio);  257  (esercizi)

 

   -     risolubili con un sistema  256 (esempio);  257 (esercizi)

 

   -     similitudini  da 258 a 265

 

   -     applicazioni delle similitudini  266

 

   -     poligoni regolari  267

 

   Problemi geometrici vari  268, 269

 

       Quesiti geometrici da gare matematiche  270, 271

 

   Problemi geometrici + grafici  da 272 a 277

 

 

   TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE

 

 

     1.   Cosa si intende per “trasformazione piana”  278, 279, 280

 

     Semplici trasformazioni geometriche con GEOGEBRA  280

 

     2.   Un controesempio  281

 

     3.   L’immagine di un segmento attraverso una trasformazione piana  281

 

     4.   Trasformazioni piane molto speciali: le affinità e, in particolare, le isometrie  282, 283

 

     5.   Teoremi sulle isometrie  284

 

     6.   Isometrie notevoli: simmetrie, traslazioni, rotazioni  285

 

     7.   Altre isometrie. Relazione fra isometrie e movimenti rigidi  286

 

     8.   Teoremi sulla composizione ( = applicazione successiva) di due isometrie  287

 

     9.   Omotetie con rapporto negativo, similitudini  288, 289

 

    10.  Punti uniti, rette di punti uniti, rette unite  290

 

    11.  Inversa di una trasformazione  290

 

    12.  Figure simmetriche rispetto a un punto, o a una retta  291

 

    13.  Esercizi sulle trasformazioni geometriche  292, 293

 

    14.  Approfondimento: trasformazioni un po’ più generali  294, 295

 

    15.  Trasformazioni geometriche (soprattutto: affinità) nel piano cartesiano  296, 297

 

    16.  Affinità particolari (traslazioni, simmetrie, omotetie)

           descritte in coordinate, nel piano cartesiano  298, 299

 

    17.  Come scrivere le equazioni della trasformazione inversa di una trasformazione data  300, 301

 

    18.  Equazione dell’immagine di una curva assegnata  302

 

    19.  Equazione della controimmagine di una curva data  303

  

      Esercizi (inversa, immagine, controimmagine)  303, 304

 

    20.  Equazioni della trasformazione composta (detta anche “trasformazione prodotto”)  305

 

    21.  Lo studio di un’affinità  306, 307, 308, 309

 

    22.  Esercizi sulle affinità  310, 311, 312, 313, 314

 

 

   LE MATRICI  da 315 a 324

    e 

    I)  il Teorema di Rouché-Capelli  

   II)  le trasformazioni lineari 

 

 

   I VETTORI  da 325 a 328

    e

    i concetti di dipendenza e indipendenza lineare 

 

   CENNI DI GEOMETRIA SOLIDA

 

 

     1.   Nozioni generali  330, 331, 332

 

     2.   Superfici e solidi di rotazione  333

 

     3.   Il volume di un solido  334

 

     4.   Il Principio di Cavalieri e la sua applicazione al calcolo dei volumi di prismi, cilindri, piramidi e coni  

   335, 336, 337

 

     5.   Il volume della sfera  338

 

     6.   Aree di superfici di solidi di rotazione  339

 

     7.   Specchietto delle formule studiate; altre formule  340, 341

 

     8.   Esercizi  da 342 a 347

       I solidi platonici sono solo 5: perché?  347

 

 

 

 

 

   PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA  348, 349

 

 

 

   CANTOR E I “GRADI DI INFINITO”  350, 351, 352, 353

 

 

 

 

 

   ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

 

     1.   Esempi introduttivi  354

 

 

 

     2.   Due righe di storia  355

 

 

 

     3.   Di cosa tratta la statistica; statistica descrittiva e inferenziale  356, 357

 

   -  Fenomeno collettivo, popolazione statistica, carattere, modalità, unità statistica

     -  Tipi di caratteri

     -  Definizioni di “statistica”

     -  La statistica nel mondo contemporaneo

     -  Origine storica del termine

 

 

 

     4.   Le prime tre fasi di un’indagine statistica; terminologia  358 … 361

 

     -  Prima fase: la scelta del “fenomeno collettivo”

     -  Seconda fase: la rilevazione dei dati

     -  Terza fase: lo spoglio dei dati

     -  Frequenza assoluta, relativa, percentuale

     -  Distribuzioni di frequenza

     -  Classi di frequenza

     -  Separatore della parte intera dalla decimale

     -  Esercizi  8, 9 (Questionario del Curiosone  8)

 

 

 

     5.   Rappresentazioni grafiche  362 … 367

 

   -  Diagrammi a barre, grafici cartesiani, serie storiche 

   -  Cartogrammi

     -  Esercizi

     -  Diagrammi a barre e a segmenti

     -  Ideogrammi, diagrammi a strisce, a torta

     -  Istogrammi

     -  Tabelle a doppia entrata

     -  I tipi di diagramma più “gettonati”

 

 

 

     6.   Una breve introduzione al “foglio elettronico”  368 … 379

 

   -  Microsoft Office, OpenOffice

     -  Sommaria guida al foglio elettronico

     -  Diagrammi e grafici col foglio elettronico

     -  CONTA.SE

     -  Numeri pseudocasuali

     -  Esercizi sul foglio elettronico

 

 

 

     7.   ESERCIZI sulle rappresentazioni grafiche  380 … 385

 

 

     8.   Gli indici di posizione  386 … 395

   A)  Le medie “ferme”

    -  Media aritmetica

    -  Media geometrica

    -  Media armonica

    -  Media quadratica

    -  Generalizzazione del concetto di “media”

    -  Media per classi, valore centrale

    -  Proprietà dei vari tipi di media

    -  RIASSUNTO SCHEMATICO

   B)  Medie ponderate

   C)  Le medie “lasche”

    -  Mediana

    -  Moda

            Un’esercitazione col foglio elettronico: medie, conteggi, istogramma

 

 

 

 

 

     9.   Gli indici di dispersione  396 … 399

   -  Campo di variabilità

   -  Scarto assoluto medio

   -  Varianza

   -  Scarto quadratico medio (deviazione standard)

   -  Coefficiente di variazione

             RIASSUNTO SCHEMATICO 

       Tabelle, e poesie

 

 

 

 

 

 

    10.   ESERCIZI  400 … 407

   -  sugli indici di posizione

   -  sugli indici di dispersione

 

 

 

 

 

    11.   Gli errori di misura  408 … 417

   -  Gaussiana

   -  Media, scarto quadratico medio

   -  Scarto quadratico medio “corretto”

   -  Intervalli di confidenza

   -  Errore standard della media

   -  Un bell’esempio: quanto insetticida?

   -  SD e SEM

   -  Ancora sulla statistica inferenziale

   -  How to Lie with Statistics

   -  Scarto assoluto medio

   -  Semidispersione

   -  Il caso della misura unica

   -  Errori relativi / incertezze relative

   -  Errori sistematici

   -  Esercizi

 

 

 

 

 

    12.   Arrotondamenti e cifre significative  418 … 421

 

   -  La regola per arrotondare

   -  Cifre significative

   -  Arrotondamento di media e incertezza

   -  Quante cifre lasciare nel risultato di un calcolo su dati incerti

   -  La “propagazione” degli errori, o meglio: delle “incertezze”

 

 

 

 

    13.   RISPOSTE AGLI ESERCIZI  422 … 427

 

   -  sui concetti introduttivi

   -  sulle rappresentazioni grafiche

   -  sugli indici di posizione

   -  sugli indici di dispersione

   -  sugli errori di misura

   -  su arrotondamenti e cifre significative

 

   INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA

 

     1.   Seno, coseno e tangente di un angolo: un primo approccio  428 … 433

 

 

   -  Il seno di un angolo acuto

   -  Come risalire dal valore del seno all’ampiezza dell’angolo

   -  Il coseno di un angolo acuto

   -  La tangente di un angolo acuto

  

     2.   Misura di un arco di circonferenza in radianti  434, 435, 436

 

   -  Un arco si può misurare sia in radianti che in gradi e un angolo sia in gradi che in radianti

 

   -  Come si passa, in generale, dai gradi ai radianti e viceversa?

 

 

     3.   Circonferenza goniometrica  437

      

     4.   Seno e coseno di un angolo nella circonferenza goniometrica  437, 438, 439

 

 

     5.   Tangente di un angolo nella circonferenza goniometrica  440, 441, 442

 

 

     6.   Poligoni simili (cenni)  442… 445

 

 

     7.   Periodicità delle funzioni goniometriche  446

 

     8.   Calcolatrici e funzioni goniometriche  447

 

     9.   Alcune formule utili  (angoli di 45°, 30° e 60°)  448, 449, 450

 

 

    10.   Teoremi sui triangoli rettangoli  451, 452

 

    11.   Teoremi sui triangoli qualsiasi  452

 

    12.   ESERCIZI  453 … 462

   -  Esempi svolti  -  Seno, coseno, tangente (e rispettive inverse): triangoli rettangoli

   -  Orizzonte  -  Terra e Luna  -  Pendenza di una strada  -  Triangoli qualsiasi

   -  Problemi che richiedono un’equazione  - Esercizi da siti in lingua Inglese

   -  Eratostene e il raggio della Terra  -  Risorse su Internet  -  Risposte

 

 

 

 

 

 

   CENNI DI CALCOLO COMBINATORIO

 

   1 - STRATEGIE DI PENSIERO

 

   1.1 - Premessa  463

   1.2 - Il “primo principio” del C.C.  464, 465

   1.3 - Esercizi sul “primo principio”  466

   1.4 - Il “secondo principio” del C.C.  467

   1.5 - n-uple ordinate e non ordinate  468

   1.6 - Il “terzo principio” del C.C.  468, 469

   1.7 - Esercizi  470 … 473

 

 

 

 

 

 

   CENNI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’

 

   1 - IL CONCETTO DI PROBABILITA’ TI E’ GIA’ NOTO!

        LA “LEGGE EMPIRICA DEL CASO”

 

   1.1 - Casi possibili e casi favorevoli; definizione provvisoria di probabilità  474, 475

 

      Il mazzo di carte da scopa  476

 

   1.2 - La legge empirica del caso  476

 

   1.3 - Proposte di riflessione per la piena comprensione della "legge empirica del caso"  477

 

 

   2 - INADEGUATEZZA DELLA DEFINIZIONE DATA; LA DEFINIZIONE DI LAPLACE

 

   2.1 - La definizione che abbiamo appena scritto è da buttare?  478

 

   2.2 - La definizione “perfezionata” (di Laplace)  478

 

   2.3 - Nemmeno la definizione "perfezionata" è, a ben guardare, impeccabile  479

 

   2.4 - Il problema dell’equipossibilità  479

 

 

   3 - DIVERSI APPROCCI ALLA PROBABILITA’

 

        Definizione classica, frequentista, assiomatica, soggettivista  480

 

 

   4 - TERMINOLOGIA E SIMBOLOGIA; INDICAZIONI METODOLOGICHE; ESEMPI

 

        4.1 - Terminologia specifica  481

 

        4.2 - Indicazioni metodologiche  481

 

        4.3 - Anticipazione: l’evento contrario  481

 

        4.4 - Esempi svolti (sulla definizione di Laplace)  482, 483, 484

 

        4.5 - Esercizi  485 … 491

 

        4.6 - Esercizi su probabilità e frequenza relativa  492

 

        4.7 - Speranza matematica  493 … 497

 

        4.8 - Probabilità soggettiva  498

 

             IL MONDO INFIDO E TRISTE DELLE SCOMMESSE  499

 

                Esercizi sulla probabilità soggettiva  500

 

 

 

 

   ALGORITMI

 

      1 - Cos’e’ un “algoritmo”  501

      2 - Algoritmi e programmi  502, 503

      3 - Diagrammi di flusso; programmazione strutturata  504, 505

      4 - Esempi; lo pseudocodice (o “linguaggio di progetto”)  506, 507, 508

      5 - Esercizi  509 … 515

 

 

 

 

   PROVE INVALSI - PROBLEMI VARI E “CREATIVI”

 

   -   Prove INVALSI: esempi, link  da 516 a 525

 

   -   Quesiti da Free Puzzles  526, 527, 528, 529

 

   -   Giochi di Archimede

           2008  530, 531

           2009  532, 533

        2010  534, 535

        2003  536, 537

 

    Ultima pagina volume 2

 

“Chi ha paura della matematica? – Volume 2”,

di Giancarlo Zilio,

è distribuito con licenza

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